Упр.6.9 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) lg (x^2-2x)=lg (2x+12);
2) log_4 (x-1)=log_4 (x^2-x-16);
3) log_0,5 (x^2+3x-10)=log_0,5 (x-2);
4) log_6 (x^2-x-2)=log_6 (2-x);
5) 2log_0,4 x=log_0,4 (2x^2-x);
6) 2log_7 (-x)=log_7 (x+2);
7) 2log_8 (1-x)=log_8 (2,5x+1);
8) 2log_3 x=1+log_3 (x+6).

1. $$\lg(x^2-2x)=\lg(2x+12)$$
   
   Тогда
   $$x^2-2x=2x+12,$$
   $$x^2-4x-12=0.$$
   
   $$D=16+48=64,$$
   $$x_{1,2}=\frac{4\pm 8}{2}.$$
   Получаем:
   $$x_1=-2,\quad x_2=6.$$
   
   Проверка области определения:
   $$x^2-2x>0,\quad 2x+12>0.$$
   Оба корня подходят.
2. $$\log_4(x-1)=\log_4(x^2-x-16)$$
   
   Тогда
   $$x-1=x^2-x-16,$$
   $$x^2-2x-15=0.$$
   
   $$D=4+60=64,$$
   $$x_{1,2}=\frac{2\pm 8}{2}.$$
   Получаем:
   $$x_1=-3,\quad x_2=5.$$
   
   Область определения:
   $$x-1>0 \Rightarrow x>1.$$
   Подходит только $$x=5.$$
3. $$\log_{0,5}(x^2+3x-10)=\log_{0,5}(x-2)$$
   
   Тогда
   $$x^2+3x-10=x-2,$$
   $$x^2+2x-8=0.$$
   
   $$D=4+32=36,$$
   $$x_{1,2}=\frac{-2\pm 6}{2}.$$
   Получаем:
   $$x_1=-4,\quad x_2=2.$$
   
   Область определения:
   $$x-2>0 \Rightarrow x>2.$$
   Ни один корень не подходит, значит корней нет.
4. $$\log_6(x^2-x-2)=\log_6(2-x)$$
   
   Тогда
   $$x^2-x-2=2-x,$$
   $$x^2=4,$$
   $$x=\pm 2.$$
   
   Область определения:
   $$2-x>0 \Rightarrow x<2.$$ Подходит только $$x=-2.$$
5. $$2\log_{0,4}x=\log_{0,4}(2x^2-x)$$
   
   Используем свойство логарифмов:
   $$\log_{0,4}x^2=\log_{0,4}(2x^2-x).$$
   Тогда
   $$x^2=2x^2-x,$$
   $$x^2-x=0,$$
   $$x(x-1)=0.$$
   
   Отсюда
   $$x_1=0,\quad x_2=1.$$
   
   Область определения:
   $$x>0,\quad 2x^2-x>0.$$
   Подходит только $$x=1.$$
6. $$2\log_7(-x)=\log_7(x+2)$$
   
   Тогда
   $$\log_7x^2=\log_7(x+2),$$
   $$x^2=x+2,$$
   $$x^2-x-2=0.$$
   
   $$D=1+8=9,$$
   $$x_{1,2}=\frac{1\pm 3}{2}.$$
   Получаем:
   $$x_1=-1,\quad x_2=2.$$
   
   Область определения:
   $$-x>0 \Rightarrow x<0,$$ $$x+2>0 \Rightarrow x>-2.$$
   Подходит только $$x=-1.$$
7. $$2\log_8(1-x)=\log_8(2{,}5x+1)$$
   
   Тогда
   $$\log_8(1-x)^2=\log_8(2{,}5x+1),$$
   $$x^2-2x+1=2{,}5x+1,$$
   $$x^2-4{,}5x=0,$$
   $$x(x-4{,}5)=0.$$
   
   Отсюда
   $$x_1=0,\quad x_2=4{,}5.$$
   
   Область определения:
   $$1-x>0 \Rightarrow x<1,$$ $$2{,}5x+1>0 \Rightarrow x>-0{,}4.$$
   Подходит только $$x=0.$$
8. $$2\log_3x=1+\log_3(x+6)$$
   
   Представим $$1$$ как $$\log_3 3$$:
   $$2\log_3x=\log_3 3+\log_3(x+6).$$
   Тогда
   $$\log_3x^2=\log_3(3x+18),$$
   $$x^2=3x+18,$$
   $$x^2-3x-18=0.$$
   
   $$D=9+72=81,$$
   $$x_{1,2}=\frac{3\pm 9}{2}.$$
   Получаем:
   $$x_1=-3,\quad x_2=6.$$
   
   Область определения:
   $$x>0,\quad x+6>0.$$
   Подходит только $$x=6.$$

Ответ

1) $$-2; 6$$
2) $$5$$
3) корней нет
4) $$-2$$
5) $$1$$
6) $$-1$$
7) $$0$$
8) $$6$$