Упр.6.20 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) 2log_2 x/log_2 (3-2x)=1; 4) log_x (x+6)=2;
2) (log_5 (x^2-9x+25)-1)/lg (x-3)=0; 5) log_(2x-3) (3x^2-7x+3)=2.
3) log_(x-1) (x^2-5x+7)=1;

1. $$\frac{2\log_2 x}{\log_2(3-2x)}=1$$
   
   Тогда
   $$2\log_2 x=\log_2(3-2x)$$
   $$\log_2 x^2=\log_2(3-2x)$$
   $$x^2=3-2x$$
   $$x^2+2x-3=0$$
   $$D=2^2+4\cdot 3=16$$
   $$x_1=\frac{-2-4}{2}=-3,\quad x_2=\frac{-2+4}{2}=1$$
   Проверим область определения:
   $$x>0,\quad 3-2x>0,\quad \log_2(3-2x)\ne 0$$
   Отсюда $$0<x<\frac32,\quad x\ne 1.$$
   Ни одно из найденных значений не подходит.
2. $$\frac{\log_5(x^2-9x+25)-1}{\lg(x-3)}=0$$
   
   Числитель должен быть равен нулю, а знаменатель — не равен нулю:
   $$\log_5(x^2-9x+25)-1=0$$
   $$\log_5(x^2-9x+25)=1$$
   $$x^2-9x+25=5$$
   $$x^2-9x+20=0$$
   $$D=9^2-4\cdot 20=1$$
   $$x_1=\frac{9-1}{2}=4,\quad x_2=\frac{9+1}{2}=5$$
   Область определения:
   $$x-3>0,\quad x\ne 4$$
   Значит, подходит только $$x=5$$.
3. $$\log_{x-1}(x^2-5x+7)=1$$
   
   Тогда
   $$x^2-5x+7=x-1$$
   $$x^2-6x+8=0$$
   $$D=6^2-4\cdot 8=4$$
   $$x_1=\frac{6-2}{2}=2,\quad x_2=\frac{6+2}{2}=4$$
   Область определения:
   $$x-1>0,\quad x-1\ne 1$$
   То есть
   $$x>1,\quad x\ne 2$$
   Оба значения подходят.
4. $$\log_x(x+6)=2$$
   
   Тогда
   $$x+6=x^2$$
   $$x^2-x-6=0$$
   $$D=1+24=25$$
   $$x_1=\frac{1-5}{2}=-2,\quad x_2=\frac{1+5}{2}=3$$
   Область определения:
   $$x>0,\quad x\ne 1$$
   Подходит только $$x=3$$.
5. $$\log_{2x-3}(3x^2-7x+3)=2$$
   
   Тогда
   $$3x^2-7x+3=(2x-3)^2$$
   $$3x^2-7x+3=4x^2-12x+9$$
   $$x^2-5x+6=0$$
   $$D=25-24=1$$
   $$x_1=\frac{5-1}{2}=2,\quad x_2=\frac{5+1}{2}=3$$
   Область определения:
   $$2x-3>0,\quad 2x-3\ne 1$$
   То есть
   $$x>\frac32,\quad x\ne 2$$
   Подходит только $$x=3$$.

Ответ

1) корней нет; 2) $$5$$; 3) $$2,\,4$$; 4) $$3$$; 5) $$3$$.