Упр.6.19 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) 2 lg x/lg (8x-7)=1; 4) log_(x+1) (x+3)=2;
2) (log_4 (x^2+x-2)-1)/log_4 (x-1)=0; 5) log_(x-2) (2x^2-11x+16)=2.
3) log_x (2x^2-7x+12)=2;

1. $$\frac{2\lg x}{\lg(8x-7)}=1$$
   
   Тогда
   $$2\lg x=\lg(8x-7),$$
   $$\lg x^2=\lg(8x-7),$$
   $$x^2=8x-7,$$
   $$x^2-8x+7=0.$$
   
   Решаем квадратное уравнение:
   $$D=8^2-4\cdot 7=64-28=36,$$
   $$x_{1,2}=\frac{8\pm 6}{2}.$$
   Получаем:
   $$x_1=1,\quad x_2=7.$$
   
   Проверим область определения:
   $$\lg(8x-7)\ne 0,\quad 8x-7>0.$$
   При $$x=1$$ знаменатель равен нулю, поэтому это значение не подходит.
   При $$x=7$$ все условия выполняются.
2. $$\frac{\log_4(x^2+x-2)-1}{\log_4(x-1)}=0$$
   
   Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:
   $$\log_4(x^2+x-2)-1=0,$$
   $$\log_4(x^2+x-2)=1,$$
   $$x^2+x-2=4,$$
   $$x^2+x-6=0.$$
   
   Тогда
   $$D=1^2-4\cdot 1\cdot(-6)=25,$$
   $$x_{1,2}=\frac{-1\pm 5}{2}.$$
   Получаем:
   $$x_1=-3,\quad x_2=2.$$
   
   Область определения:
   $$x-1>0,\quad x\ne 2.$$
   Значит, $$x>1$$ и $$x\ne 2$$.
   Ни одно из найденных значений не подходит.
3. $$\log_x(2x^2-7x+12)=2$$
   
   Тогда
   $$2x^2-7x+12=x^2,$$
   $$x^2-7x+12=0.$$
   
   Решаем:
   $$D=7^2-4\cdot 1\cdot 12=49-48=1,$$
   $$x_{1,2}=\frac{7\pm 1}{2}.$$
   Получаем:
   $$x_1=3,\quad x_2=4.$$
   
   Область определения логарифма:
   $$01,$$
   а также основание не должно быть равно $$1$$.
   Оба значения $$3$$ и $$4$$ подходят.
4. $$\log_{x+1}(x+3)=2$$
   
   Тогда
   $$x+3=(x+1)^2,$$
   $$x+3=x^2+2x+1,$$
   $$x^2+x-2=0.$$
   
   Решаем:
   $$D=1^2-4\cdot 1\cdot(-2)=9,$$
   $$x_{1,2}=\frac{-1\pm 3}{2}.$$
   Получаем:
   $$x_1=-2,\quad x_2=1.$$
   
   Область определения:
   $$x+1>0,\quad x+1\ne 1.$$
   Значит, $$x>-1$$ и $$x\ne 0$$.
   Подходит только $$x=1$$.
5. $$\log_{x-2}(2x^2-11x+16)=2$$
   
   Тогда
   $$2x^2-11x+16=(x-2)^2,$$
   $$2x^2-11x+16=x^2-4x+4,$$
   $$x^2-7x+12=0.$$
   
   Решаем:
   $$D=7^2-4\cdot 12=49-48=1,$$
   $$x_{1,2}=\frac{7\pm 1}{2}.$$
   Получаем:
   $$x_1=3,\quad x_2=4.$$
   
   Область определения:
   $$x-2>0,\quad x-2\ne 1.$$
   Значит, $$x>2$$ и $$x\ne 3$$.
   Подходит только $$x=4$$.

Ответ

1) $$7$$; 2) корней нет; 3) $$3,\,4$$; 4) $$1$$; 5) $$4$$.