Упр.6.17 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) (log_2 x)^2+3log_2 x-4=0; 4) log_5 x+log_x 5=2,5;
2) (log_3 x)^2-log_3 x-2=0; 5) 2log_(1/6) x+3v(log_(1/6) x)-5=0;
3) lg^2 x-2 lg x^2+3=0; 6) 2/(lg (x+2)-3)+4/(lg (x+2)+1)=1.

1. Пусть $$t=\log_2 x$$. Тогда получаем квадратное уравнение:

   $$t^2+3t-4=0$$

   $$D=3^2-4\cdot 1\cdot(-4)=9+16=25$$

   $$t_1=\frac{-3-5}{2}=-4,\qquad t_2=\frac{-3+5}{2}=1$$

   Тогда

   $$\log_2 x=-4 \Rightarrow x=2^{-4}=\frac{1}{16}$$

   $$\log_2 x=1 \Rightarrow x=2^1=2$$

2. Пусть $$t=\log_3 x$$. Тогда

   $$t^2-t-2=0$$

   $$D=(-1)^2-4\cdot 1\cdot(-2)=1+8=9$$

   $$t_1=\frac{1-3}{2}=-1,\qquad t_2=\frac{1+3}{2}=2$$

   Следовательно,

   $$\log_3 x=-1 \Rightarrow x=3^{-1}=\frac{1}{3}$$

   $$\log_3 x=2 \Rightarrow x=3^2=9$$

3. Так как $$\lg x^2=2\lg x$$, получаем:

   $$\lg^2 x-2\lg x^2+3=0$$

   $$\lg^2 x-4\lg x+3=0$$

   Пусть $$t=\lg x$$. Тогда

   $$t^2-4t+3=0$$

   $$D=4^2-4\cdot 1\cdot 3=16-12=4$$

   $$t_1=\frac{4-2}{2}=1,\qquad t_2=\frac{4+2}{2}=3$$

   Значит,

   $$\lg x=1 \Rightarrow x=10$$

   $$\lg x=3 \Rightarrow x=1000$$

4. Пусть $$t=\log_5 x$$. Тогда $$\log_x 5=\frac{1}{\log_5 x}=\frac{1}{t}$$, и уравнение принимает вид:

   $$t+\frac{1}{t}=2{,}5$$

   Умножим на $$2t$$:

   $$2t^2-5t+2=0$$

   $$D=5^2-4\cdot 2\cdot 2=25-16=9$$

   $$t_1=\frac{5-3}{4}=\frac{1}{2},\qquad t_2=\frac{5+3}{4}=2$$

   Тогда

   $$\log_5 x=\frac{1}{2} \Rightarrow x=5^{1/2}=\sqrt{5}$$

   $$\log_5 x=2 \Rightarrow x=5^2=25$$

5. Пусть $$t=\sqrt{\log_{1/6} x}$$. Тогда

   $$2\log_{1/6} x+3\sqrt{\log_{1/6} x}-5=0$$

   $$2t^2+3t-5=0$$

   $$D=3^2-4\cdot 2\cdot(-5)=9+40=49$$

   $$t_1=\frac{-3-7}{4}=-\frac{5}{2},\qquad t_2=\frac{-3+7}{4}=1$$

   Так как $$t=\sqrt{\log_{1/6} x}\ge 0$$, подходит только $$t=1$$.

   Тогда

   $$\sqrt{\log_{1/6} x}=1 \Rightarrow \log_{1/6} x=1 \Rightarrow x=\frac{1}{6}$$

6. Пусть $$t=\lg(x+2)$$. Тогда

   $$\frac{2}{t-3}+\frac{4}{t+1}=1$$

   Умножим на $$ (t-3)(t+1) $$:

   $$2(t+1)+4(t-3)=(t-3)(t+1)$$

   $$2t+2+4t-12=t^2-2t-3$$

   $$t^2-8t+7=0$$

   $$D=8^2-4\cdot 1\cdot 7=64-28=36$$

   $$t_1=\frac{8-6}{2}=1,\qquad t_2=\frac{8+6}{2}=7$$

   Тогда

   $$\lg(x+2)=1 \Rightarrow x+2=10 \Rightarrow x=8$$

   $$\lg(x+2)=7 \Rightarrow x+2=10^7 \Rightarrow x=10^7-2$$

Ответ

1) $$\frac{1}{16},\,2$$; 2) $$\frac{1}{3},\,9$$; 3) $$10,\,1000$$; 4) $$\sqrt{5},\,25$$; 5) $$\frac{1}{6}$$; 6) $$8,\,10^7-2$$.