Упр.6.15 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) log_3 (5^x+2)+log_3 (5^x-1)=2+log_3 2;
2) log_2 (2^x+3)+log_2 (5-2^x)=4.

1. $$\log_3(5^x+2)+\log_3(5^x-1)=2+\log_3 2$$

   Область определения:

   $$5^x+2>0,\quad 5^x-1>0$$

   Из второго неравенства получаем:

   $$5^x>1 \Rightarrow x>0$$

   Сложим логарифмы и преобразуем правую часть:

   $$\log_3\bigl((5^x+2)(5^x-1)\bigr)=\log_3 9+\log_3 2=\log_3 18$$

   Тогда

   $$ (5^x+2)(5^x-1)=18 $$

   Обозначим $$t=5^x$$, где $$t>1$$. Получаем:

   $$ (t+2)(t-1)=18 $$

   $$ t^2+t-2=18 $$

   $$ t^2+t-20=0 $$

   $$ (t+5)(t-4)=0 $$

   С учётом $$t>1$$ подходит только $$t=4$$. Тогда

   $$5^x=4 \Rightarrow x=\log_5 4$$

2. $$\log_2(2^x+3)+\log_2(5-2^x)=4$$

   Область определения:

   $$2^x+3>0,\quad 5-2^x>0$$

   Из второго неравенства:

   $$2^x<5$$

   Сложим логарифмы:

   $$\log_2\bigl((2^x+3)(5-2^x)\bigr)=4$$

   Тогда

   $$ (2^x+3)(5-2^x)=2^4=16 $$

   Обозначим $$t=2^x$$, где $$0<t<5$$. Получаем:

   $$ (t+3)(5-t)=16 $$

   $$ 5t+15-t^2-3t=16 $$

   $$ -t^2+2t-1=0 $$

   $$ t^2-2t+1=0 $$

   $$ (t-1)^2=0 $$

   $$ t=1 $$

   Тогда

   $$2^x=1 \Rightarrow x=0$$

Ответ

1) $$x=\log_5 4$$; 2) $$x=0$$.