Упр.6.14 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) log_7 x+log_7 (x+6)=1;
2) log_3 (5-x)+log_3 (3-x)=1;
3) log_(1/2) (4x-1)+log_(1/2) (x+1)=log_0,5 3,5;
4) log_0,6 (x+2)+log_0,6 (6-x)=log_0,6 (x+8);
5) log_2 (2x-1)-log_2 (x+2)=2-log_2 (x+1);
6) 2lg (x+1)-lg (4x-5)=lg (x-5).

1. $$\log_7 x+\log_7(x+6)=1$$
   $$\log_7\bigl(x(x+6)\bigr)=\log_7 7$$
   $$x^2+6x=7$$
   $$x^2+6x-7=0$$
   $$D=6^2+4\cdot 7=64$$
   $$x_{1,2}=\frac{-6\pm 8}{2}$$
   $$x_1=-7,\quad x_2=1$$

   ОДЗ: $$x>0,\; x+6>0$$, значит подходит только $$x=1$$.

2. $$\log_3(5-x)+\log_3(3-x)=1$$
   $$\log_3\bigl((5-x)(3-x)\bigr)=\log_3 3$$
   $$15-8x+x^2=3$$
   $$x^2-8x+12=0$$
   $$D=8^2-4\cdot 12=16$$
   $$x_{1,2}=\frac{8\pm 4}{2}$$
   $$x_1=2,\quad x_2=6$$

   ОДЗ: $$5-x>0,\; 3-x>0$$, то есть $$x<3$$. Подходит только $$x=2$$.

3. $$\log_{0,5}(4x-1)+\log_{0,5}(x+1)=\log_{0,5}3,5$$
   $$\log_{0,5}\bigl((4x-1)(x+1)\bigr)=\log_{0,5}3,5$$
   $$4x^2+3x-1=3,5$$
   $$4x^2+3x-4,5=0$$
   $$8x^2+6x-9=0$$
   $$D=6^2+4\cdot 8\cdot 9=324$$
   $$x_{1,2}=\frac{-6\pm 18}{16}$$
   $$x_1=-\frac{3}{2},\quad x_2=\frac{3}{4}$$

   ОДЗ: $$4x-1>0,\; x+1>0$$, значит $$x>\frac14$$. Подходит $$x=\frac34$$.

4. $$\log_{0,6}(x+2)+\log_{0,6}(6-x)=\log_{0,6}(x+8)$$
   $$\log_{0,6}\bigl((x+2)(6-x)\bigr)=\log_{0,6}(x+8)$$
   $$6x-x^2+12-2x=x+8$$
   $$x^2-3x-4=0$$
   $$D=3^2+4\cdot 4=25$$
   $$x_{1,2}=\frac{3\pm 5}{2}$$
   $$x_1=-1,\quad x_2=4$$

   ОДЗ: $$x+2>0,\; 6-x>0$$, то есть $$-2<x<6$$. Оба корня подходят.

5. $$\log_2(2x-1)-\log_2(x+2)=2-\log_2(x+1)$$
   $$\log_2\frac{2x-1}{x+2}=\log_2\frac{4}{x+1}$$
   $$\frac{2x-1}{x+2}=\frac{4}{x+1}$$
   $$\left(2x-1\right)(x+1)=4(x+2)$$
   $$2x^2+x-1=4x+8$$
   $$2x^2-3x-9=0$$
   $$D=3^2+4\cdot 2\cdot 9=81$$
   $$x_{1,2}=\frac{3\pm 9}{4}$$
   $$x_1=-\frac32,\quad x_2=3$$

   ОДЗ: $$2x-1>0,\; x+2>0,\; x+1>0$$, значит $$x>\frac12$$. Подходит $$x=3$$.

6. $$2\lg(x+1)-\lg(4x-5)=\lg(x-5)$$
   $$\lg(x+1)^2-\lg(4x-5)=\lg(x-5)$$
   $$\lg\frac{(x+1)^2}{4x-5}=\lg(x-5)$$
   $$\frac{(x+1)^2}{4x-5}=x-5$$
   $$x^2+2x+1=4x^2-25x+25$$
   $$3x^2-27x+24=0$$
   $$x^2-9x+8=0$$
   $$D=9^2-4\cdot 8=49$$
   $$x_{1,2}=\frac{9\pm 7}{2}$$
   $$x_1=1,\quad x_2=8$$

   ОДЗ: $$4x-5>0,\; x-5>0,\; x+1>0$$, значит $$x>5$$. Подходит только $$x=8$$.

Ответ

1) $$1$$; 2) $$2$$; 3) $$\frac34$$; 4) $$-1,\ 4$$; 5) $$3$$; 6) $$8$$.