Упр.6.10 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) log_6 (9-x^2)=log_6 (1-2x);
2) lg (x^2+2x-3)=lg (2x^2-2);
3) log_0,7 (2x^2-9x+4)=2log_0,7 (x+2);
4) 2log_2 (-x)-log_2 (3x+8)=1.

1. $$\log_6(9-x^2)=\log_6(1-2x)$$

   Так как логарифмы с одинаковым основанием равны, то равны их аргументы:

   $$9-x^2=1-2x$$

   $$x^2-2x-8=0$$

   $$D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot(-8)=36$$

   $$x_1=\frac{2-6}{2}=-2,\qquad x_2=\frac{2+6}{2}=4$$

   Проверим область определения:

   $$9-x^2>0,\qquad 1-2x>0$$

   $$-3<x<3,\qquad x<\frac12$$

   Подходит только $$x=-2$$.

2. $$\lg(x^2+2x-3)=\lg(2x^2-2)$$

   Приравниваем аргументы:

   $$x^2+2x-3=2x^2-2$$

   $$x^2-2x+1=0$$

   $$\left(x-1\right)^2=0,\qquad x=1$$

   Проверим ОДЗ:

   $$x^2+2x-3>0,\qquad 2x^2-2>0$$

   При $$x=1$$ получаем $$x^2+2x-3=0$$ и $$2x^2-2=0$$, а логарифм от нуля не определён. Значит, корней нет.

3. $$\log_{0,7}(2x^2-9x+4)=2\log_{0,7}(x+2)$$

   Используем свойство логарифма:

   $$2\log_{0,7}(x+2)=\log_{0,7}(x+2)^2$$

   Тогда

   $$2x^2-9x+4=(x+2)^2$$

   $$2x^2-9x+4=x^2+4x+4$$

   $$x^2-13x=0$$

   $$x(x-13)=0$$

   $$x=0 \text{ или } x=13$$

   Проверим ОДЗ:

   $$x+2>0,\qquad x>-2$$

   Оба корня подходят.

4. $$2\log_2(-x)-\log_2(3x+8)=1$$

   Преобразуем:

   $$\log_2(-x)^2-\log_2(3x+8)=\log_2 2$$

   $$\log_2\frac{x^2}{3x+8}=1$$

   Тогда

   $$\frac{x^2}{3x+8}=2$$

   $$x^2=6x+16$$

   $$x^2-6x-16=0$$

   $$D=36+64=100$$

   $$x_1=\frac{6-10}{2}=-2,\qquad x_2=\frac{6+10}{2}=8$$

   Проверим ОДЗ:

   $$-x>0,\qquad 3x+8>0$$

   $$x<0,\qquad x>-\frac83$$

   Подходит только $$x=-2$$.

Ответ

1) $$-2$$; 2) корней нет; 3) $$0,\,13$$; 4) $$-2$$.