Упр.5.37 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

v((a-2v(a-1))/(a+2v(a-1)))+v((a+2v(a-1))/(a-2v(a-1)))-4/v(a^2-4a+4).

Преобразуем выражение:

$$
\sqrt{\frac{a-2\sqrt{a-1}}{a+2\sqrt{a-1}}}
+\sqrt{\frac{a+2\sqrt{a-1}}{a-2\sqrt{a-1}}}
-\frac{4}{\sqrt{a^2-4a+4}}
$$

Заметим, что

$$
a^2-4a+4=(a-2)^2,\qquad a\pm 2\sqrt{a-1}=(\sqrt{a-1}\pm 1)^2.
$$

Тогда

$$
\sqrt{\frac{a-2\sqrt{a-1}}{a+2\sqrt{a-1}}}
=\sqrt{\frac{(\sqrt{a-1}-1)^2}{(\sqrt{a-1}+1)^2}}
=\frac{|\sqrt{a-1}-1|}{\sqrt{a-1}+1},
$$
$$
\sqrt{\frac{a+2\sqrt{a-1}}{a-2\sqrt{a-1}}}
=\frac{\sqrt{a-1}+1}{|\sqrt{a-1}-1|},
$$
$$
\frac{4}{\sqrt{a^2-4a+4}}=\frac{4}{|a-2|}.
$$

Удобнее сразу использовать тождество

$$
\sqrt{\frac{a-2\sqrt{a-1}}{a+2\sqrt{a-1}}}
=\frac{a-2\sqrt{a-1}}{|a-2|},
\qquad
\sqrt{\frac{a+2\sqrt{a-1}}{a-2\sqrt{a-1}}}
=\frac{a+2\sqrt{a-1}}{|a-2|}.
$$

Тогда исходное выражение равно

$$
\frac{a-2\sqrt{a-1}}{|a-2|}
+\frac{a+2\sqrt{a-1}}{|a-2|}
-\frac{4}{|a-2|}
=
\frac{2a-4}{|a-2|}
=
\frac{2(a-2)}{|a-2|}.
$$

Теперь учитываем знак выражения $a-2$.

Если $$a>2,$$ то $$|a-2|=a-2,$$ значит
$$
\frac{2(a-2)}{|a-2|}=2.
$$

Если $$1\le a<2,$$ то $$|a-2|=2-a,$$ значит
$$
\frac{2(a-2)}{|a-2|}=-2.
$$

Ответ

если $$a>2,$$ то $$2$$; если $$1\le a<2,$$ то $$-2$$.