Упр.5.34 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) y=1/lg (x^2+1); 6) y=lg (10x-x^2)-1/lg (8-x);
2) y=lg (1+sin(x)); 7) y=x/lg (4-x^2);
3) y=v(lg (1+x^2)); 8) y=lg (9x-x^2)-1/lg (5-x);
4) y=v(lg sin(x)); 9) y=log_(2-x) (8+7x-x^2);
5) y=lg (x+8)-5/lg (-x-1); 10) y=v((x+5)(2-x)/lg (x^2+1)).

1. $$y=\frac{1}{\lg(x^2+1)}$$

   Нужно, чтобы знаменатель был определён и не равнялся нулю:

   $$x^2+1>0,\qquad \lg(x^2+1)\ne 0.$$

   Так как $$x^2+1\ge 1,$$ то условие $$\lg(x^2+1)\ne 0$$ означает $$x^2+1\ne 1,$$ то есть $$x\ne 0.$$

   Следовательно,

   $$D(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$

2. $$y=\lg(1+\sin x)$$

   Для логарифма нужно:

   $$1+\sin x>0.$$

   Это верно при всех $$x,$$ кроме тех, где $$\sin x=-1.$$

   $$x\ne -\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Значит,

   $$D(y)=\mathbb R\setminus\left\{-\frac{\pi}{2}+2\pi n\mid n\in\mathbb Z\right\}.$$

3. $$y=\sqrt{\lg(1+x^2)}$$

   Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

   $$\lg(1+x^2)\ge 0.$$

   Так как $$1+x^2\ge 1,$$ то $$\lg(1+x^2)\ge 0$$ при всех $$x.$$

   Следовательно,

   $$D(y)=(-\infty;+\infty).$$

4. $$y=\sqrt{\lg(\sin x)}$$

   Нужно, чтобы

   $$\lg(\sin x)\ge 0.$$

   Отсюда

   $$\sin x\ge 1.$$

   Так как $$\sin x\le 1,$$ то возможно только

   $$\sin x=1,$$

   то есть

   $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Значит,

   $$D(y)=\left\{\frac{\pi}{2}+2\pi n\mid n\in\mathbb Z\right\}.$$

5. $$y=\lg(x+8)-\frac{5}{\lg(-x-1)}$$

   Требуется:

   $$x+8>0,\qquad -x-1>0,\qquad \lg(-x-1)\ne 0.$$

   Из первых двух неравенств получаем

   $$x>-8,\qquad x<-1.$$

   Кроме того,

   $$\lg(-x-1)\ne 0 \iff -x-1\ne 1 \iff x\ne -2.$$

   Итак,

   $$D(y)=(-8;-2)\cup(-2;-1).$$

6. $$y=\lg(10x-x^2)-\frac{1}{\lg(8-x)}$$

   Нужно:

   $$10x-x^2>0,\qquad 8-x>0,\qquad \lg(8-x)\ne 0.$$

   Решаем:

   $$10x-x^2>0 \iff x(10-x)>0 \iff 0<x<10,$$

   $$8-x>0 \iff x<8,$$

   $$\lg(8-x)\ne 0 \iff 8-x\ne 1 \iff x\ne 7.$$

   Пересечение условий:

   $$D(y)=(0;7)\cup(7;8).$$

7. $$y=\frac{x}{\lg(4-x^2)}$$

   Требуется:

   $$4-x^2>0,\qquad \lg(4-x^2)\ne 0.$$

   Из первого условия:

   $$-2<x<2.$$

   Из второго:

   $$4-x^2\ne 1 \iff x^2\ne 3 \iff x\ne \pm\sqrt3.$$

   Следовательно,

   $$D(y)=(-2;-\sqrt3)\cup(-\sqrt3;\sqrt3)\cup(\sqrt3;2).$$

8. $$y=\lg(9x-x^2)-\frac{1}{\lg(5-x)}$$

   Нужно:

   $$9x-x^2>0,\qquad 5-x>0,\qquad \lg(5-x)\ne 0.$$

   Решаем:

   $$9x-x^2>0 \iff x(9-x)>0 \iff 0<x<9,$$

   $$5-x>0 \iff x<5,$$

   $$\lg(5-x)\ne 0 \iff 5-x\ne 1 \iff x\ne 4.$$

   Тогда

   $$D(y)=(0;4)\cup(4;5).$$

9. $$y=\log_{2-x}(8+7x-x^2)$$

   Для логарифма нужно:

   $$8+7x-x^2>0,\qquad 2-x>0,\qquad 2-x\ne 1.$$

   Решаем неравенство:

   $$8+7x-x^2>0 \iff x^2-7x-8<0 \iff (x+1)(x-8)<0,$$

   откуда

   $$-1<x<8.$$

   Также

   $$2-x>0 \iff x<2,\qquad 2-x\ne 1 \iff x\ne 1.$$

   Пересечение условий:

   $$D(y)=(-1;1)\cup(1;2).$$

10. $$y=\sqrt{\frac{(x+5)(2-x)}{\lg(x^2+1)}}$$

    Нужно, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным и знаменатель был определён и не равнялся нулю:

    $$x^2+1>0,\qquad \lg(x^2+1)\ne 0,\qquad \frac{(x+5)(2-x)}{\lg(x^2+1)}\ge 0.$$

    Так как $$x^2+1\ge 1,$$ то

    $$\lg(x^2+1)\ge 0,$$

    а условие $$\lg(x^2+1)\ne 0$$ даёт $$x\ne 0.$$

    Чтобы дробь была неотрицательной при положительном знаменателе, нужно

    $$ (x+5)(2-x)\ge 0.$$

    Отсюда

    $$-5\le x\le 2.$$

    С учётом $$x\ne 0$$ получаем

    $$D(y)=[-5;0)\cup(0;2].$$

Ответ

1. $$(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$
2. $$\mathbb R\setminus\left\{-\frac{\pi}{2}+2\pi n\mid n\in\mathbb Z\right\}$$
3. $$(-\infty;+\infty)$$
4. $$\left\{\frac{\pi}{2}+2\pi n\mid n\in\mathbb Z\right\}$$
5. $$(-8;-2)\cup(-2;-1)$$
6. $$ (0;7)\cup(7;8) $$
7. $$(-2;-\sqrt3)\cup(-\sqrt3;\sqrt3)\cup(\sqrt3;2)$$
8. $$ (0;4)\cup(4;5) $$
9. $$(-1;1)\cup(1;2)$$
10. $$[-5;0)\cup(0;2]$$