Упр.5.33 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) y=lg (1-sin x); 5) y=v((x+1)(3-x)/lg (x^2+1));
1) y=v(log_(1/3) (1+x^2)); 6) y=log_5 (x^2-4x+3)+1/log_5 (7-x);
3) y=v(lg cos(x)); 7) y=lg (6x-x^2)+1/lg (3-x);
4) y=1/log_6 (x-3)+v(6-x); 8) y=log_(x+3) (x^2+x).

1. $$y=\lg(1-\sin x)$$

   Для существования логарифма нужно:

   $$1-\sin x>0,$$

   а также основание логарифма не рассматривается, так как это десятичный логарифм. Получаем

   $$\sin x<1.$$

   Кроме того, аргумент логарифма не должен быть равен нулю, значит

   $$1-\sin x\ne 0,\quad \sin x\ne 1.$$

   Равенство $$\sin x=1$$ выполняется при

   $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Значит, область определения:

   $$D(x)=\mathbb R\setminus\left\{\frac{\pi}{2}+2\pi n\mid n\in\mathbb Z\right\}.$$

2. $$y=\sqrt{\log_{\frac13}(1+x^2)}$$

   Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

   $$\log_{\frac13}(1+x^2)\ge 0.$$

   Так как $$0<\frac13<1,$$ то знак неравенства меняется:

   $$1+x^2\le 1.$$

   Отсюда

   $$x^2\le 0,\quad x=0.$$

   Следовательно,

   $$D(x)=\{0\}.$$

3. $$y=\sqrt{\lg(\cos x)}$$

   Нужно, чтобы

   $$\lg(\cos x)\ge 0.$$

   Для десятичного логарифма это равносильно

   $$\cos x\ge 1.$$

   Но $$\cos x\le 1,$$ значит возможно только

   $$\cos x=1.$$

   Это выполняется при

   $$x=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Итак,

   $$D(x)=\{2\pi n\mid n\in\mathbb Z\}.$$

4. $$y=\frac{1}{\log_6(x-3)}+\sqrt{6-x}$$

   Для первого слагаемого нужно:

   $$x-3>0,\quad \log_6(x-3)\ne 0.$$

   Отсюда

   $$x>3,\quad x-3\ne 1,\quad x\ne 4.$$

   Для второго слагаемого:

   $$6-x\ge 0,\quad x\le 6.$$

   Пересекаем условия:

   $$x\in(3;4)\cup(4;6].$$

5. $$y=\sqrt{\frac{(x+1)(3-x)}{\lg(x^2+1)}}$$

   Нужно, чтобы знаменатель был определён и не равен нулю:

   $$x^2+1>0,\quad \lg(x^2+1)\ne 0.$$

   Так как $$x^2+1\ge 1,$$ то

   $$\lg(x^2+1)\ge 0.$$

   Чтобы дробь под корнем была неотрицательной, при $$\lg(x^2+1)>0$$ достаточно

   $$ (x+1)(3-x)\ge 0.$$

   Решаем неравенство:

   $$-1\le x\le 3.$$

   Исключаем точку $$x=0,$$ где $$\lg(x^2+1)=0.$$ Тогда

   $$D(x)=[-1;0)\cup(0;3].$$

6. $$y=\log_5(x^2-4x+3)+\frac{1}{\log_5(7-x)}$$

   Для первого логарифма:

   $$x^2-4x+3>0.$$

   Разложим на множители:

   $$x^2-4x+3=(x-1)(x-3),$$

   тогда

   $$x<1 \quad \text{или} \quad x>3.$$

   Для второго слагаемого:

   $$7-x>0,\quad \log_5(7-x)\ne 0.$$

   Отсюда

   $$x<7,\quad 7-x\ne 1,\quad x\ne 6.$$

   Пересечение условий:

   $$D(x)=(-\infty;1)\cup(3;6)\cup(6;7).$$

7. $$y=\lg(6x-x^2)+\frac{1}{\lg(3-x)}$$

   Для логарифма нужно:

   $$6x-x^2>0.$$

   Имеем

   $$x(6-x)>0,\quad 0<x<6.$$

   Для знаменателя:

   $$3-x>0,\quad \lg(3-x)\ne 0.$$

   Отсюда

   $$x<3,\quad 3-x\ne 1,\quad x\ne 2.$$

   Пересечение условий:

   $$D(x)=(0;2)\cup(2;3).$$

8. $$y=\log_{x+3}(x^2+x)$$

   Для основания логарифма:

   $$x+3>0,\quad x+3\ne 1.$$

   Значит

   $$x>-3,\quad x\ne -2.$$

   Для аргумента логарифма:

   $$x^2+x>0,$$

   $$x(x+1)>0.$$

   Отсюда

   $$x<-1 \quad \text{или} \quad x>0.$$

   Пересекаем все условия:

   $$D(x)=(-3;-2)\cup(-2;-1)\cup(0;+\infty).$$

Ответ

1. $$D(x)=\mathbb R\setminus\left\{\frac{\pi}{2}+2\pi n\mid n\in\mathbb Z\right\}$$
2. $$D(x)=\{0\}$$
3. $$D(x)=\{2\pi n\mid n\in\mathbb Z\}$$
4. $$D(x)=(3;4)\cup(4;6]$$
5. $$D(x)=[-1;0)\cup(0;3]$$
6. $$D(x)=(-\infty;1)\cup(3;6)\cup(6;7)$$
7. $$D(x)=(0;2)\cup(2;3)$$
8. $$D(x)=(-3;-2)\cup(-2;-1)\cup(0;+\infty)$$