Упр.5.13 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)
1) f(x)=log_3 (x+1); 5) f(x)=log_5 (x^2+x+1);
2) f(x)=log_(1/2) (x^2+1); 6) f(x)=log_0,6 (5x-6-x^2);
3) f(x)=log_4 (-x); 7) f(x)=2lg x+3 lg(2-x);
4) f(x)=lg x^2; 8) f(x)=log_2 ((2x-3)/(x+7)).
$$f(x)=\log_3(x+1)$$
Для логарифма нужно, чтобы подлогарифмическое выражение было положительным:
$$x+1>0,$$
$$x>-1.$$
Область определения: $$D(x)=(-1;+\infty).$$
$$f(x)=\log_{\frac12}(x^2+1)$$
Требуется:
$$x^2+1>0.$$
Так как $$x^2\ge 0,$$ то $$x^2+1>0$$ при любом $$x\in\mathbb R.$$
Область определения: $$D(x)=(-\infty;+\infty).$$
$$f(x)=\log_4(-x)$$
Нужно, чтобы
$$-x>0,$$
$$x<0.$$
Область определения: $$D(x)=(-\infty;0).$$
$$f(x)=\lg x^2$$
Для существования логарифма:
$$x^2>0.$$
Это верно при всех $$x\ne 0.$$
Область определения: $$D(x)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$
$$f(x)=\log_5(x^2+x+1)$$
Нужно:
$$x^2+x+1>0.$$
Рассмотрим квадратный трёхчлен. Его дискриминант:
$$D=1-4\cdot 1\cdot 1=-3<0.$$
Так как старший коэффициент положительный, то $$x^2+x+1>0$$ при всех $$x\in\mathbb R.$$
Область определения: $$D(x)=(-\infty;+\infty).$$
$$f(x)=\log_{0,6}(5x-6-x^2)$$
Требуется:
$$5x-6-x^2>0,$$
$$x^2-5x+6<0.$$
Разложим на множители:
$$x^2-5x+6=(x-2)(x-3).$$
Тогда
$$ (x-2)(x-3)<0,$$
откуда
$$2<x<3.$$
Область определения: $$D(x)=(2;3).$$
$$f(x)=2\lg x+3\lg(2-x)$$
Для существования обоих логарифмов нужно:
$$x>0,\qquad 2-x>0.$$
Следовательно,
$$0<x<2.$$
Область определения: $$D(x)=(0;2).$$
$$f(x)=\log_2\frac{2x-3}{x+7}$$
Нужно, чтобы дробь была положительной:
$$\frac{2x-3}{x+7}>0,$$
$$x\ne -7.$$
Критические точки: $$x=-7$$ и $$x=\frac32.$$
Исследуем знак дроби. Она положительна при
$$x<-7 \quad \text{или} \quad x>\frac32.$$
Область определения: $$D(x)=(-\infty;-7)\cup\left(\frac32;+\infty\right).$$
Ответ
1) $$(-1;+\infty)$$; 2) $$(-\infty;+\infty)$$; 3) $$(-\infty;0)$$; 4) $$(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$; 5) $$(-\infty;+\infty)$$; 6) $$ (2;3) $$; 7) $$ (0;2) $$; 8) $$(-\infty;-7)\cup\left(\frac32;+\infty\right).$$
