Упр.4.42 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) y=7^(log_7 (x+2)); 5) y=lg (x^2+1)/lg (x^2+1);
2) y=(1/3)^(log_(1/3) (x-1)); 6) y=x^(log_x (2x));
3) y=(1/2)^(log_2 x^2); 7) y=log_3 log_(x+1) (x+1)^27;
4) y=log_x x; 8) y=log_(1/3) (x-2)·log_(x-2) (1/3).

1. $$y=7^{\log_7(x+2)}=x+2.$$
   Область определения:
   $$x+2>0,\quad x>-2.$$
   Значит, график — луч прямой $$y=x+2$$ при $$x>-2$$, точка $$(-2;0)$$ не входит.

2. $$y=\left(\frac13\right)^{\log_{1/3}(x-1)}=x-1.$$
   Область определения:
   $$x-1>0,\quad x>1.$$
   График — луч прямой $$y=x-1$$ при $$x>1$$, точка $$ (1;0) $$ не входит.

3. $$y=\left(\frac12\right)^{\log_2 x^2}=2^{-\log_2 x^2}=\frac1{x^2}.$$
   Область определения:
   $$x^2>0,\quad x\ne 0.$$
   График функции $$y=\frac1{x^2}$$ состоит из двух ветвей, симметричных относительно оси $$Oy$$.

4. $$y=\log_x x=1.$$
   Область определения:
   $$x>0,\quad x\ne 1.$$
   График — прямая $$y=1$$ с выколотой точкой $$ (1;1) $$.

5. $$y=\frac{\lg(x^2+1)}{\lg(x^2+1)}=1.$$
   Нужно исключить значения, при которых знаменатель равен нулю:
   $$\lg(x^2+1)\ne 0,$$
   $$x^2+1\ne 1,\quad x\ne 0.$$
   Значит, график — прямая $$y=1$$ с выколотой точкой $$ (0;1) $$.

6. $$y=x^{\log_x 2x}=2x.$$
   Область определения:
   $$x>0,\quad x\ne 1.$$
   График — прямая $$y=2x$$ с выколотой точкой $$ (1;2) $$.

7. $$y=\log_3\log_{x+1}(x+1)^{27}.$$
   Так как
   $$\log_{x+1}(x+1)^{27}=27,$$
   то
   $$y=\log_3 27=\log_3 3^3=3.$$
   Область определения:
   $$x+1>0,\quad x>-1,$$
   $$x+1\ne 1,\quad x\ne 0.$$
   График — прямая $$y=3$$ с выколотыми точками $$(-1;3)$$ и $$(0;3)$$.

8. $$y=\log_{1/3}(x-2)\cdot \log_{x-2}\frac13.$$
   Используем формулу перехода к новому основанию:
   $$\log_{x-2}\frac13=\frac{1}{\log_{1/3}(x-2)}.$$
   Тогда
   $$y=\log_{1/3}(x-2)\cdot \frac{1}{\log_{1/3}(x-2)}=1.$$
   Область определения:
   $$x-2>0,\quad x>2,$$
   $$x-2\ne 1,\quad x\ne 3.$$
   График — прямая $$y=1$$ с выколотыми точками $$(2;1)$$ и $$(3;1)$$.

Ответ

1) $$y=x+2,\ x>-2$$; 2) $$y=x-1,\ x>1$$; 3) $$y=\frac1{x^2},\ x\ne 0$$; 4) $$y=1,\ x>0,\ x\ne 1$$; 5) $$y=1,\ x\ne 0$$; 6) $$y=2x,\ x>0,\ x\ne 1$$; 7) $$y=3,\ x>-1,\ x\ne 0$$; 8) $$y=1,\ x>2,\ x\ne 3$$.