Упр.4.30 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) log_vb a·log_a b^3;
2) log_2^(1/3) 5·log_5 8.

1) Используем формулу перехода к новому основанию:

$$\log_{\sqrt{b}} a \cdot \log_a b^3 = \log_{\sqrt{b}} a \cdot \frac{1}{\log_{b^3} a}.$$

Так как $$\log_{b^3} a=\frac{\log_b a}{\log_b b^3}=\frac{\log_b a}{3},$$ то

$$\log_{\sqrt{b}} a \cdot \log_a b^3=\frac{\log_b a}{\log_b \sqrt{b}} \cdot \frac{3}{\log_b a}.$$

Поскольку $$\log_b \sqrt{b}=\log_b b^{1/2}=\frac12,$$ получаем

$$\frac{\log_b a}{1/2}\cdot \frac{3}{\log_b a}=2\cdot 3=6.$$

2) Аналогично:

$$\log_{\sqrt[3]{2}} 5 \cdot \log_5 8=\log_{\sqrt[3]{2}} 5 \cdot \frac{1}{\log_8 5}.$$

Так как $$\log_8 5=\frac{\log_2 5}{\log_2 8}=\frac{\log_2 5}{3},$$ а

$$\log_{\sqrt[3]{2}} 5=\frac{\log_2 5}{\log_2 \sqrt[3]{2}}=\frac{\log_2 5}{1/3}=3\log_2 5,$$

то

$$\log_{\sqrt[3]{2}} 5 \cdot \log_5 8=3\log_2 5 \cdot \frac{3}{\log_2 5}=9.$$

Ответ

1) $$6$$; 2) $$9$$.