Упр.4.29 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) log_7 sin(?/5)·log_sin(?/5) 49;
2) log_3 cos^2(?/9)·log_cos(?/9) 9.

1) Используем формулу перехода к новому основанию:

$$\log_7 \sin \frac{\pi}{5}\cdot \log_{\sin \frac{\pi}{5}} 49
= \frac{\log_7 \sin \frac{\pi}{5}}{\log_{49} \sin \frac{\pi}{5}}.$$

Так как $$49=7^2,$$ то

$$\log_{49} \sin \frac{\pi}{5}=\frac{1}{2}\log_7 \sin \frac{\pi}{5}.$$

Тогда

$$\frac{\log_7 \sin \frac{\pi}{5}}{\log_{49} \sin \frac{\pi}{5}}
=\frac{\log_7 \sin \frac{\pi}{5}}{\frac{1}{2}\log_7 \sin \frac{\pi}{5}}=2.$$

2) Аналогично:

$$\log_3 \cos^2 \frac{\pi}{9}\cdot \log_{\cos \frac{\pi}{9}} 9
= \frac{\log_3 \cos^2 \frac{\pi}{9}}{\log_9 \cos \frac{\pi}{9}}.$$

Поскольку $$\cos^2 \frac{\pi}{9}=\left(\cos \frac{\pi}{9}\right)^2,$$ получаем

$$\log_3 \cos^2 \frac{\pi}{9}=2\log_3 \cos \frac{\pi}{9}.$$

А так как $$9=3^2,$$ то

$$\log_9 \cos \frac{\pi}{9}=\frac{1}{2}\log_3 \cos \frac{\pi}{9}.$$

Следовательно,

$$\frac{\log_3 \cos^2 \frac{\pi}{9}}{\log_9 \cos \frac{\pi}{9}}
=\frac{2\log_3 \cos \frac{\pi}{9}}{\frac{1}{2}\log_3 \cos \frac{\pi}{9}}=4.$$

Ответ

1) $$2$$; 2) $$4$$.