Упр.4.25 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) log_7 x=2log_7 8-4 log_7 2;
2) lg x=2+lg 3-lg 5;
3) log_3 x=2/3 log_3 216+1/2 log_3 25;
4) lg x=2/3 lg 32-1/3 lg 128+1;
5) log_2 x=3log_5 -2log_2 25-lg 10.

1. $$\log_7 x=2\log_7 8-4\log_7 2$$

   $$2\log_7 8-4\log_7 2=\log_7 8^2-\log_7 2^4=\log_7\frac{8^2}{2^4}=\log_7 4$$

   Значит, $$x=4$$.

2. $$\lg x=2+\lg 3-\lg 5$$

   $$2=\lg 100$$

   $$\lg x=\lg 100+\lg 3-\lg 5=\lg\frac{100\cdot 3}{5}=\lg 60$$

   Следовательно, $$x=60$$.

3. $$\log_3 x=\frac{2}{3}\log_3 216+\frac{1}{2}\log_3 25$$

   $$\frac{2}{3}\log_3 216=\log_3 216^{2/3}, \qquad \frac{1}{2}\log_3 25=\log_3 25^{1/2}$$

   $$\log_3 x=\log_3\left(216^{2/3}\cdot 25^{1/2}\right)$$

   $$216^{2/3}=6^2=36,\qquad 25^{1/2}=5$$

   $$x=36\cdot 5=180$$

4. $$\lg x=\frac{2}{3}\lg 32-\frac{1}{3}\lg 128+1$$

   $$\frac{2}{3}\lg 32=\lg 32^{2/3}, \qquad \frac{1}{3}\lg 128=\lg 128^{1/3}$$

   $$\lg x=\lg 32^{2/3}-\lg 128^{1/3}+\lg 10=\lg\left(\frac{32^{2/3}\cdot 10}{128^{1/3}}\right)$$

   $$32^{2/3}=(2^5)^{2/3}=2^{10/3}, \qquad 128^{1/3}=(2^7)^{1/3}=2^{7/3}$$

   $$x=\frac{2^{10/3}}{2^{7/3}}\cdot 10=2\cdot 10=20$$

5. $$\log_2 x=3\log_2 5-2\log_2 25-\lg 10$$

   $$3\log_2 5=\log_2 5^3,\qquad 2\log_2 25=\log_2 25^2$$

   Так как $$\lg 10=1,$$ то

   $$\log_2 x=\log_2 125-\log_2 625-1=\log_2\frac{125}{625}-1=\log_2\frac{1}{5}-1$$

   $$\frac{1}{5}=2^{- \log_2 5},$$ поэтому удобнее сразу записать:

   $$\log_2 x=\log_2\left(\frac{125}{625\cdot 10}\right)=\log_2\left(\frac{1}{50}\right)$$

   Следовательно, $$x=\frac{1}{50}=0{,}02$$.

Ответ

1) $$4$$; 2) $$60$$; 3) $$180$$; 4) $$20$$; 5) $$0{,}02$$.