Упр.4.22 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) 2^(4log_2 3-1); 5) 12^(log_144 4+log_12 5);
2) (1/5)^(log_25 9+2); 6) 1000^(1/2 lg 25-3lg 2);
3) 8^(1-1/3 log_2 12); 7) log_13 (100^(1/log_7 10)+2^(log_2 15+3));
4) 6^(1/2 log_6 9-log_(1/6) 3); 8) 5^(log_5 4В·log_2 3).

1. $$2^{4\log_2 3-1}=2^{4\log_2 3}\cdot 2^{-1}=(2^{\log_2 3})^4\cdot \frac12=3^4\cdot \frac12=\frac{81}{2}.$$

2. $$\left(\frac15\right)^{\log_{25}9+2}=\left(\frac15\right)^{\log_{25}9}\cdot \left(\frac15\right)^2.$$
   Так как $$25=5^2,$$ то
   $$\log_{25}9=\frac12\log_5 9,$$
   и
   $$\left(\frac15\right)^{\log_{25}9}=5^{-\log_{25}9}=5^{-\frac12\log_5 9}=9^{-1/2}=\frac13.$$
   Тогда
   $$\left(\frac15\right)^{\log_{25}9+2}=\frac13\cdot \frac1{25}=\frac1{75}.$$

3. $$8^{1-\frac13\log_2 12}=8\cdot 8^{-\frac13\log_2 12}=8\cdot 2^{3\left(-\frac13\right)\log_2 12}=8\cdot 2^{-\log_2 12}=8\cdot \frac1{12}=\frac23.$$

4. $$6^{\frac12\log_6 9-\log_{1/6}3}=6^{\frac12\log_6 9}\cdot 6^{-\log_{1/6}3}.$$
   Так как
   $$\log_{1/6}3=-\log_6 3,$$
   то
   $$6^{-\log_{1/6}3}=6^{\log_6 3}=3.$$
   Кроме того,
   $$6^{\frac12\log_6 9}=\left(6^{\log_6 9}\right)^{1/2}=9^{1/2}=3.$$
   Значит,
   $$6^{\frac12\log_6 9-\log_{1/6}3}=3\cdot 3=9.$$

5. $$12^{\log_{144}4+\log_{12}5}=144^{\frac12\log_{144}4}\cdot 12^{\log_{12}5}.$$
   Тогда
   $$144^{\frac12\log_{144}4}=4^{1/2}=2,\qquad 12^{\log_{12}5}=5.$$
   Следовательно,
   $$12^{\log_{144}4+\log_{12}5}=2\cdot 5=10.$$

6. $$1000^{\frac12\lg 25-3\lg 2}=10^{3\left(\frac12\lg 25-3\lg 2\right)}=10^{\frac32\lg 25-9\lg 2}.$$
   Так как $$\lg 25=2\lg 5,$$ то
   $$10^{\frac32\lg 25-9\lg 2}=10^{3\lg 5-9\lg 2}=\frac{5^3}{2^9}=\frac{125}{512}.$$

7. $$\log_{13}\left(100^{1/\log_7 10}+2^{\log_2 15+3}\right).$$
   Имеем
   $$100^{1/\log_7 10}=(10^2)^{1/\log_7 10}=10^{2/\log_7 10}=10^{2\log_{10}7}=7^2=49,$$
   а также
   $$2^{\log_2 15+3}=2^{\log_2 15}\cdot 2^3=15\cdot 8=120.$$
   Тогда
   $$\log_{13}(49+120)=\log_{13}169=\log_{13}(13^2)=2.$$

8. $$5^{\log_5 4\cdot \log_2 3}=4^{\log_2 3}=(2^2)^{\log_2 3}=2^{2\log_2 3}=(2^{\log_2 3})^2=3^2=9.$$

Ответ

1) $$\frac{81}{2}$$; 2) $$\frac1{75}$$; 3) $$\frac23$$; 4) $$9$$; 5) $$10$$; 6) $$\frac{125}{512}$$; 7) $$2$$; 8) $$9$$.