Упр.3.25 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 11 класс, Просвещение: 3.25. Решите уравнение (x^2-5x+7)^2-(x-2)(x-3)=1.

Преобразуем уравнение:

$$
(x^2-5x+7)^2-(x-2)(x-3)=1
$$

Так как $$ (x-2)(x-3)=x^2-5x+6, $$ получаем

$$
(x^2-5x+7)^2-(x^2-5x+6)=1.
$$

Обозначим $$y=x^2-5x+7$$. Тогда $$x^2-5x+6=y-1$$, и уравнение принимает вид

$$
y^2-(y-1)=1
$$

$$
y^2-y+1=1
$$

$$
y^2-y=0
$$

$$
y(y-1)=0.
$$

Отсюда:

$$
y=0 \quad \text{или} \quad y=1.
$$

1) Если $$y=0$$, то

$$
x^2-5x+7=0.
$$

Дискриминант:

$$
D=25-28=-3<0.
$$

Решений нет.

2) Если $$y=1$$, то

$$
x^2-5x+7=1
$$

$$
x^2-5x+6=0
$$

$$
(x-2)(x-3)=0.
$$

Тогда

$$
x=2 \quad \text{или} \quad x=3.
$$

Ответ

$$2; 3$$