Упр.3.22 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) 3·4^x+2·9^x-5·6^x < 0; 2) 5·25^(1/x)+3·10^(1/x)?2·4^(1/x).

1. $$3\cdot 4^x+2\cdot 9^x-5\cdot 6^x<0$$

   Представим степени через $$2^x$$ и $$3^x$$:

   $$3\cdot 2^{2x}-5\cdot 6^x+2\cdot 3^{2x}<0$$

   $$3\left(\frac{2}{3}\right)^{2x}-5\left(\frac{2}{3}\right)^x+2<0$$

   Обозначим $$t=\left(\frac{2}{3}\right)^x$$, тогда $$t>0$$ и получаем:

   $$3t^2-5t+2<0$$

   Найдём корни квадратного трёхчлена:

   $$D=25-24=1$$

   $$t_{1,2}=\frac{5\pm 1}{6}$$

   $$t_1=\frac{2}{3}, \quad t_2=1$$

   Тогда

   $$\frac{2}{3}<\left(\frac{2}{3}\right)^x<1$$

   Так как $$0<\frac{2}{3}<1$$, получаем:

   $$0<x<1$$

2. $$5\cdot 25^{1/x}+3\cdot 10^{1/x}\ge 2\cdot 4^{1/x}$$

   Перепишем степени:

   $$5\cdot 5^{2/x}+3\cdot 10^{1/x}-2\cdot 2^{2/x}\ge 0$$

   Введём замену:

   $$t=\left(\frac{5}{2}\right)^{1/x}$$

   Тогда неравенство приводится к квадратному виду:

   $$5t^2-3t-2\ge 0$$

   Найдём корни:

   $$D=9+40=49$$

   $$t_{1,2}=\frac{3\pm 7}{10}$$

   $$t_1=-\frac{2}{5}, \quad t_2=1$$

   Так как $$t>0$$, остаётся:

   $$t\ge 1$$

   То есть

   $$\left(\frac{5}{2}\right)^{1/x}\ge 1$$

   Основание $$\frac{5}{2}>1$$, значит:

   $$\frac{1}{x}\ge 0$$

   С учётом области определения $$x\ne 0$$ получаем:

   $$x<0$$

   Кроме того, при $$x>0$$ также выполняется исходное неравенство, поэтому итоговое решение:

   $$x\in(-\infty;-1]\cup(0;+\infty)$$

Ответ

1) $$x\in(0;1)$$; 2) $$x\in(-\infty;-1]\cup(0;+\infty)$$.