Упр.3.21 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 11 класс, Просвещение: 3.21. Решите неравенство 3^(vx)-3^(2-vx)?8.

Положим $$t=3^{\sqrt{x}}.$$ Тогда $$3^{2-\sqrt{x}}=\frac{9}{3^{\sqrt{x}}}=\frac{9}{t}.$$

Неравенство принимает вид

$$t-\frac{9}{t}\le 8.$$

Так как $$t>0,$$ умножим обе части на $$t$$:

$$t^2-9\le 8t,$$

$$t^2-8t-9\le 0.$$

Решим квадратное неравенство:

$$D= (-8)^2-4\cdot 1\cdot (-9)=64+36=100,$$

$$t_{1,2}=\frac{8\pm 10}{2}.$$

Получаем корни:

$$t_1=-1,\quad t_2=9.$$

Так как $$t>0,$$ то

$$0<t\le 9.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$3^{\sqrt{x}}\le 9=3^2,$$

$$\sqrt{x}\le 2,$$

$$x\le 4.$$

С учётом области определения $$x\ge 0,$$ получаем

$$x\in [0;4].$$

Ответ

$$[0;4]$$