Упр.3.18 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) 3^x-9·3^(-x)-8 > 0; 3) 6^(x+2)+6^(-x)-37?0;
2) 2^(x+3)+2^(1-x) < 17; 4) (3/5)^(x+1)+(3/5)^(1-x)?6/5.

1. $$3^x-9\cdot 3^{-x}-8>0$$
   $$3^{2x}-8\cdot 3^x-9>0$$
   Обозначим $$t=3^x$$, тогда $$t>0$$ и получаем:
   $$t^2-8t-9>0$$
   $$D=64+36=100$$
   $$t_{1,2}=\frac{8\pm 10}{2}$$
   $$t_1=-1,\quad t_2=9$$
   Так как $$t>0$$, то подходит только:
   $$t>9$$
   $$3^x>3^2$$
   $$x>2$$

2. $$2^{x+3}+2^{1-x}<17$$
   $$8\cdot 2^x+2\cdot 2^{-x}-17<0$$
   Умножим на $$2^x>0$$:
   $$8\cdot 2^{2x}-17\cdot 2^x+2<0$$
   Обозначим $$t=2^x$$, тогда $$t>0$$:
   $$8t^2-17t+2<0$$
   $$D=17^2-4\cdot 8\cdot 2=289-64=225$$
   $$t_{1,2}=\frac{17\pm 15}{16}$$
   $$t_1=\frac18,\quad t_2=2$$
   Тогда
   $$\frac18<2^x<2$$
   $$-3<x<1$$

3. $$6^{x+2}+6^{-x}-37\ge 0$$
   $$36\cdot 6^x+6^{-x}-37\ge 0$$
   Умножим на $$6^x>0$$:
   $$36\cdot 6^{2x}-37\cdot 6^x+1\ge 0$$
   Обозначим $$t=6^x$$, тогда $$t>0$$:
   $$36t^2-37t+1\ge 0$$
   $$D=37^2-4\cdot 36\cdot 1=1369-144=1225$$
   $$t_{1,2}=\frac{37\pm 35}{72}$$
   $$t_1=\frac1{36},\quad t_2=1$$
   Тогда
   $$6^x\le \frac1{36}\quad \text{или}\quad 6^x\ge 1$$
   $$x\le -2\quad \text{или}\quad x\ge 0$$

4. $$\left(\frac35\right)^{x+1}+\left(\frac35\right)^{1-x}\le \frac65$$
   $$\frac35\left(\frac35\right)^x+\frac35\left(\frac35\right)^{-x}-\frac65\le 0$$
   $$\frac35\left(\left(\frac35\right)^x+\left(\frac35\right)^{-x}-2\right)\le 0$$
   Так как $$\frac35>0$$, то
   $$\left(\frac35\right)^x+\left(\frac35\right)^{-x}-2\le 0$$
   Обозначим $$t=\left(\frac35\right)^x>0$$. Тогда
   $$t+\frac1t-2\le 0$$
   $$\frac{(t-1)^2}{t}\le 0$$
   Поскольку $$t>0$$, получаем
   $$(t-1)^2=0$$
   $$t=1$$
   $$\left(\frac35\right)^x=1$$
   $$x=0$$

Ответ

1) $$(2;+\infty)$$; 2) $$(-3;1)$$; 3) $$(-\infty;-2]\cup[0;+\infty)$$; 4) $$\{0\}$$.