Упр.3.13 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) 9^(x+1)-2·3^x-7?0; 3) (1/4)^x-3·(1/2)^x+2 > 0;
2) 2^x+2^(x/2)-72?0; 4) 25^x-26·5^x+25?0.

1. $$9^{x+1}-2\cdot 3^x-7\le 0$$

   $$9\cdot 3^{2x}-2\cdot 3^x-7\le 0$$

   Пусть $$t=3^x$$, тогда $$t>0$$ и получаем:

   $$9t^2-2t-7\le 0$$

   Найдём корни квадратного трёхчлена:

   $$D=(-2)^2-4\cdot 9\cdot(-7)=256$$

   $$t_{1,2}=\frac{2\pm 16}{18}$$

   $$t_1=-\frac79,\quad t_2=1$$

   Так как $$t>0$$, то подходит только промежуток $$0<t\le 1$$.

   Возвращаясь к переменной $$x$$, получаем:

   $$3^x\le 1 \Rightarrow x\le 0$$

2. $$2^x+2^{x/2}-72\ge 0$$

   Пусть $$t=2^{x/2}$$, тогда $$t>0$$ и $$2^x=t^2$$. Получаем:

   $$t^2+t-72\ge 0$$

   Найдём корни:

   $$D=1+4\cdot 72=289$$

   $$t_{1,2}=\frac{-1\pm 17}{2}$$

   $$t_1=-9,\quad t_2=8$$

   С учётом $$t>0$$ имеем $$t\ge 8$$.

   Тогда

   $$2^{x/2}\ge 8=2^3 \Rightarrow \frac{x}{2}\ge 3 \Rightarrow x\ge 6$$

3. $$\left(\frac14\right)^x-3\left(\frac12\right)^x+2>0$$

   Пусть $$t=\left(\frac12\right)^x$$, тогда $$t>0$$ и $$\left(\frac14\right)^x=t^2$$. Получаем:

   $$t^2-3t+2>0$$

   $$\left(t-1\right)\left(t-2\right)>0$$

   Отсюда

   $$t<1 \quad \text{или} \quad t>2$$

   Так как $$t=\left(\frac12\right)^x$$, то:

   $$\left(\frac12\right)^x<1 \Rightarrow x>0$$

   $$\left(\frac12\right)^x>2=\left(\frac12\right)^{-1} \Rightarrow x<-1$$

4. $$25^x-26\cdot 5^x+25\le 0$$

   $$5^{2x}-26\cdot 5^x+25\le 0$$

   Пусть $$t=5^x$$, тогда $$t>0$$ и получаем:

   $$t^2-26t+25\le 0$$

   Найдём корни:

   $$D=26^2-4\cdot 25=576$$

   $$t_{1,2}=\frac{26\pm 24}{2}$$

   $$t_1=1,\quad t_2=25$$

   Тогда

   $$1\le t\le 25$$

   Возвращаясь к переменной $$x$$, получаем:

   $$1\le 5^x\le 25=5^2 \Rightarrow 0\le x\le 2$$

Ответ

1) $$(-\infty;0]$$; 2) $$[6;+\infty)$$; 3) $$(-\infty;-1)\cup(0;+\infty)$$; 4) $$[0;2]$$.