Упр.266 Повторение ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) v(3x-2)=v(4x+3); 6) v(x^2+x-4)=v(-2x);
2) v(3x-3)=v(4x^2-6x-1); 7) v(x+5)-v(8-x)=1;
3) v(x-1)·v(x-4)=2; 8) v(2x-4)-v(x-1)=1;
4) v(x+7)=x+5; 9) v(3x-6)+v(x-4)=4;
5) v(x^2+2x-12)=v(3x); 10) 2v(x-3)-v(x+2)=1.

1. $$\sqrt{3x-2}=\sqrt{4x+3}$$
   $$3x-2=4x+3$$
   $$x=-5$$
   Проверим область определения:
   $$3x-2\ge 0,\quad x\ge \frac23$$
   Значение $$x=-5$$ не подходит.

   Корней нет.

2. $$\sqrt{3x-3}=\sqrt{4x^2-6x-1}$$
   $$3x-3=4x^2-6x-1$$
   $$4x^2-9x+2=0$$
   $$D=9^2-4\cdot 4\cdot 2=49$$
   $$x_1=\frac{9-7}{8}=\frac14,\quad x_2=\frac{9+7}{8}=2$$
   Область определения:
   $$3x-3\ge 0,\quad x\ge 1$$
   Подходит только $$x=2$$.
3. $$\sqrt{x-1}\cdot \sqrt{x-4}=2$$
   $$\sqrt{(x-1)(x-4)}=2$$
   $$x^2-5x+4=4$$
   $$x^2-5x=0$$
   $$x(x-5)=0$$
   $$x_1=0,\quad x_2=5$$
   Область определения:
   $$x-1\ge 0,\quad x-4\ge 0,\quad x\ge 4$$
   Подходит только $$x=5$$.
4. $$\sqrt{x+7}=x+5$$
   Возведём в квадрат:
   $$x+7=x^2+10x+25$$
   $$x^2+9x+18=0$$
   $$D=9^2-4\cdot 1\cdot 18=9$$
   $$x_1=-6,\quad x_2=-3$$
   Область определения:
   $$x+7\ge 0,\quad x+5\ge 0$$
   Подходит только $$x=-3$$.
5. $$\sqrt{x^2+2x-12}=\sqrt{3x}$$
   $$x^2+2x-12=3x$$
   $$x^2-x-12=0$$
   $$x^2-x-12=(x-4)(x+3)=0$$
   $$x_1=4,\quad x_2=-3$$
   Область определения:
   $$3x\ge 0,\quad x\ge 0$$
   Подходит только $$x=4$$.
6. $$\sqrt{x^2+x-4}=\sqrt{-2x}$$
   $$x^2+x-4=-2x$$
   $$x^2+3x-4=0$$
   $$D=3^2+16=25$$
   $$x_1=-4,\quad x_2=1$$
   Область определения:
   $$-2x\ge 0,\quad x\le 0$$
   Подходит только $$x=-4$$.
7. $$\sqrt{x+5}-\sqrt{8-x}=1$$
   $$\sqrt{x+5}=1+\sqrt{8-x}$$
   Возведём в квадрат:
   $$x+5=1+2\sqrt{8-x}+8-x$$
   $$2\sqrt{8-x}=2x-4$$
   $$\sqrt{8-x}=x-2$$
   $$8-x=x^2-4x+4$$
   $$x^2-3x-4=0$$
   $$D=25$$
   $$x_1=-1,\quad x_2=4$$
   Область определения:
   $$x+5\ge 0,\quad x-2\ge 0,\quad 8-x\ge 0$$
   Подходит только $$x=4$$.
8. $$\sqrt{2x-4}-\sqrt{x-1}=1$$
   $$\sqrt{2x-4}=1+\sqrt{x-1}$$
   Возведём в квадрат:
   $$2x-4=1+2\sqrt{x-1}+x-1$$
   $$2\sqrt{x-1}=x-4$$
   $$4(x-1)=x^2-8x+16$$
   $$x^2-12x+20=0$$
   $$D=64$$
   $$x_1=2,\quad x_2=10$$
   Область определения:
   $$2x-4\ge 0,\quad x-1\ge 0,\quad x-4\ge 0$$
   Подходит только $$x=10$$.
9. $$\sqrt{3x-6}+\sqrt{x-4}=4$$
   $$\sqrt{3x-6}=4-\sqrt{x-4}$$
   Возведём в квадрат:
   $$3x-6=16-8\sqrt{x-4}+x-4$$
   $$2\sqrt{x-4}=5-x$$
   $$\sqrt{x-4}=\frac{5-x}{2}$$
   Возведём в квадрат:
   $$x-4=\frac{(5-x)^2}{4}$$
   $$4x-16=x^2-10x+25$$
   $$x^2-14x+41=0$$
   $$D=72$$
   $$x=7\pm 3\sqrt2$$
   Область определения:
   $$3x-6\ge 0,\quad x-4\ge 0,\quad 4-\sqrt{x-4}\ge 0$$
   Подходит только $$x=5$$.
10. $$2\sqrt{x-3}-\sqrt{x+2}=1$$
    $$2\sqrt{x-3}=1+\sqrt{x+2}$$
    Возведём в квадрат:
    $$4(x-3)=1+2\sqrt{x+2}+x+2$$
    $$2\sqrt{x+2}=3x-15$$
    $$4(x+2)=9x^2-90x+225$$
    $$9x^2-94x+217=0$$
    $$D=1024$$
    $$x_1=\frac{31}{9},\quad x_2=7$$
    Область определения:
    $$x-3\ge 0,\quad x+2\ge 0,\quad 3x-15\ge 0$$
    Подходит только $$x=7$$.

Ответ

1) корней нет; 2) 2; 3) 5; 4) -3; 5) 4; 6) -4; 7) 4; 8) 10; 9) 5; 10) 7.