Упр.253 Повторение ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) 1/(v2-1)+1/(v3+v2)+1/(2+v3);
2) 12/(5-v13)+4/(v17+v13)-1/(v17-4);
3) 1/(v5+1)+1/(3+v5)+1/(v13+3)+…+1/(5+v21).

1) Преобразуем каждую дробь, рационализируя знаменатель:

$$
\frac{1}{\sqrt2-1}+\frac{1}{\sqrt3+\sqrt2}+\frac{1}{2+\sqrt3}
=
\frac{\sqrt2+1}{2-1}+\frac{\sqrt3-\sqrt2}{3-2}+\frac{2-\sqrt3}{4-3}
$$

$$
=\sqrt2+1+\sqrt3-\sqrt2+2-\sqrt3=3.
$$

2) Аналогично:

$$
\frac{12}{5-\sqrt{13}}+\frac{4}{\sqrt{17}+\sqrt{13}}-\frac{1}{\sqrt{17}-4}
=
\frac{12(5+\sqrt{13})}{25-13}+\frac{4(\sqrt{17}-\sqrt{13})}{17-13}-\frac{\sqrt{17}+4}{17-16}
$$

$$
=(5+\sqrt{13})+(\sqrt{17}-\sqrt{13})-(\sqrt{17}+4)=1.
$$

3) В выражении получается телескопическая сумма:

$$
\frac{1}{\sqrt5+1}+\frac{1}{3+\sqrt5}+\frac{1}{\sqrt{13}+3}+\dots+\frac{1}{5+\sqrt{21}}
$$

$$
=\frac{\sqrt5-1}{5-1}+\frac{3-\sqrt5}{9-5}+\frac{\sqrt{13}-3}{13-9}+\dots+\frac{5-\sqrt{21}}{25-21}
$$

$$
=\frac{(\sqrt5-1)+(3-\sqrt5)+(\sqrt{13}-3)+\dots+(5-\sqrt{21})}{4}
=\frac{5-1}{4}=1.
$$

Ответ

1) $$3$$; 2) $$1$$; 3) $$1$$.