Упр.251 Повторение ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) 3/(12+5v6)+3/(12-5v6);
2) (v(7+4v3)-v(7-4v3))^2;
3) (5-v15)^(1/3)·(40+10v15)^(1/6);
4) v(v5+1)·(6-2v5)^(1/4).

1. $$\frac{3}{12+5\sqrt6}+\frac{3}{12-5\sqrt6}=
   \frac{3(12-5\sqrt6)+3(12+5\sqrt6)}{(12+5\sqrt6)(12-5\sqrt6)}$$

   $$=\frac{36-15\sqrt6+36+15\sqrt6}{144-25\cdot 6}
   =\frac{72}{144-150}
   =\frac{72}{-6}
   =-12$$

2. $$\left(\sqrt{7+4\sqrt3}-\sqrt{7-4\sqrt3}\right)^2$$

   Так как $$7+4\sqrt3=(\sqrt4+\sqrt3)^2=(2+\sqrt3)^2$$ и $$7-4\sqrt3=(2-\sqrt3)^2,$$ то

   $$\left(\sqrt{7+4\sqrt3}-\sqrt{7-4\sqrt3}\right)^2
   =\left((2+\sqrt3)-(2-\sqrt3)\right)^2
   =(2\sqrt3)^2=12$$

3. $$\sqrt[3]{5-\sqrt{15}}\cdot \sqrt[6]{40+10\sqrt{15}}$$

   Заметим, что
   $$40+10\sqrt{15}=5(8+2\sqrt{15})=5(\sqrt5+\sqrt3)^2,$$
   а также
   $$5-\sqrt{15}=\frac{(5+\sqrt{15})(5-\sqrt{15})}{5+\sqrt{15}}=\frac{10}{5+\sqrt{15}}.$$

   Удобнее представить выражение так:
   $$40+10\sqrt{15}=(5+\sqrt{15})^2.$$
   Тогда

   $$\sqrt[3]{5-\sqrt{15}}\cdot \sqrt[6]{40+10\sqrt{15}}
   =\sqrt[3]{5-\sqrt{15}}\cdot \sqrt[6]{(5+\sqrt{15})^2}
   =\sqrt[3]{5-\sqrt{15}}\cdot \sqrt[3]{5+\sqrt{15}}$$

   $$=\sqrt[3]{(5-\sqrt{15})(5+\sqrt{15})}
   =\sqrt[3]{25-15}
   =\sqrt[3]{10}$$

4. $$\sqrt{\sqrt5+1}\cdot \sqrt[4]{6-2\sqrt5}$$

   Заметим, что
   $$6-2\sqrt5=(\sqrt5-1)^2.$$
   Тогда

   $$\sqrt{\sqrt5+1}\cdot \sqrt[4]{6-2\sqrt5}
   =\sqrt{\sqrt5+1}\cdot \sqrt[4]{(\sqrt5-1)^2}
   =\sqrt{\sqrt5+1}\cdot \sqrt{\sqrt5-1}$$

   $$=\sqrt{(\sqrt5+1)(\sqrt5-1)}
   =\sqrt{5-1}
   =\sqrt4=2$$

Ответ

1) $$-12$$; 2) $$12$$; 3) $$\sqrt[3]{10}$$; 4) $$2$$.