Упр.237 Повторение ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) v(3-a); 2) va^2; 3) v(a^4+1);
4) (x+4)^(1/8); 5) (a-8)^(1/9); 6) (-x^2)^(1/6);
7) (y^2+y)^(1/4); 8) (x^2-2x-8)^(1/10).

1. $$\sqrt{3-a}$$
   
   Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
   $$3-a\ge 0,$$
   $$a\le 3.$$
   
   Значит, $$a\in(-\infty;3].$$
2. $$\sqrt{a^2}$$
   
   Так как $$a^2\ge 0$$ при любом $$a\in\mathbb{R},$$ выражение имеет смысл при всех действительных значениях переменной.
   
   Значит, $$a\in(-\infty;+\infty).$$
3. $$\sqrt{a^4+1}$$
   
   Поскольку $$a^4\ge 0,$$ то
   $$a^4+1\ge 1>0$$
   при любом $$a\in\mathbb{R}.$$
   
   Значит, $$a\in(-\infty;+\infty).$$
4. $$(x+4)^{1/8}=\sqrt[8]{x+4}$$
   
   Для чётного корня нужно:
   $$x+4\ge 0,$$
   $$x\ge -4.$$
   
   Значит, $$x\in[-4;+\infty).$$
5. $$(a-8)^{1/9}=\sqrt[9]{a-8}$$
   
   Нечётный корень определён при любых действительных значениях подкоренного выражения, поэтому
   $$a\in(-\infty;+\infty).$$
6. $$(-x^2)^{1/6}=\sqrt[6]{-x^2}$$
   
   Для чётного корня нужно:
   $$-x^2\ge 0.$$
   Так как $$x^2\ge 0,$$ то это возможно только при
   $$x=0.$$
   
   Значит, $$x\in\{0\}.$$
7. $$(y^2+y)^{1/4}=\sqrt[4]{y^2+y}$$
   
   Требуется:
   $$y^2+y\ge 0,$$
   $$y(y+1)\ge 0.$$
   Отсюда
   $$y\in(-\infty;-1]\cup[0;+\infty).$$
8. $$(x^2-2x-8)^{1/10}=\sqrt[10]{x^2-2x-8}$$
   
   Для чётного корня:
   $$x^2-2x-8\ge 0.$$
   Разложим на множители:
   $$x^2-2x-8=(x-4)(x+2).$$
   Тогда
   $$(x-4)(x+2)\ge 0,$$
   откуда
   $$x\le -2 \quad \text{или} \quad x\ge 4.$$
   
   Значит, $$x\in(-\infty;-2]\cup[4;+\infty).$$

Ответ

1) $$(-\infty;3]$$; 2) $$(-\infty;+\infty)$$; 3) $$(-\infty;+\infty)$$; 4) $$[-4;+\infty)$$; 5) $$(-\infty;+\infty)$$; 6) $$\{0\}$$; 7) $$(-\infty;-1]\cup[0;+\infty)$$; 8) $$(-\infty;-2]\cup[4;+\infty).$$