Упр.226 Повторение ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) x^2-7|x|-30 < 0; 2) 6x^2+5|x|-1?0.

1) Рассмотрим неравенство $$x^2-7|x|-30<0.$$

Положим $$t=|x|,\quad t\ge 0.$$ Тогда получаем квадратное неравенство

$$t^2-7t-30<0.$$

Разложим на множители:

$$t^2-7t-30=(t-10)(t+3).$$

Тогда

$$ (t-10)(t+3)<0.$$

Так как $$t\ge 0,$$ то $$t+3>0,$$ значит, нужно, чтобы

$$t-10<0,\quad t<10.$$

Следовательно,

$$|x|<10,$$

откуда

$$-10<x<10.$$

2) Рассмотрим неравенство $$6x^2+5|x|-1\ge 0.$$

Положим $$t=|x|,\quad t\ge 0.$$ Тогда

$$6t^2+5t-1\ge 0.$$

Найдём корни уравнения $$6t^2+5t-1=0$$:

$$D=5^2-4\cdot 6\cdot(-1)=25+24=49,$$

$$t_{1,2}=\frac{-5\pm 7}{12}.$$

Получаем

$$t_1=-1,\quad t_2=\frac16.$$

Так как ветви параболы направлены вверх, то

$$6t^2+5t-1\ge 0 \quad \text{при} \quad t\le -1 \ \text{или}\ t\ge \frac16.$$

С учётом условия $$t\ge 0$$ остаётся

$$t\ge \frac16,$$

то есть

$$|x|\ge \frac16.$$

Следовательно,

$$x\le -\frac16 \quad \text{или} \quad x\ge \frac16.$$

Ответ

1) $$(-10;10)$$

2) $$(-\infty;-\frac16]\cup[\frac16;+\infty)$$