Упр.224 Повторение ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) x^2-6bx+8b+1=0; 2) 2x^2+2(b-4)x+b=0?

1. Чтобы квадратное уравнение $$x^2-6bx+8b+1=0$$ имело два различных действительных корня, нужно, чтобы его дискриминант был положительным:

   $$D=( -6b)^2-4\cdot 1\cdot (8b+1)>0$$

   $$36b^2-32b-4>0$$

   $$9b^2-8b-1>0$$

   Найдём корни квадратного трёхчлена:

   $$D_1=(-8)^2-4\cdot 9\cdot(-1)=64+36=100$$

   $$b_{1,2}=\frac{8\pm 10}{2\cdot 9}$$

   $$b_1=-\frac{1}{9},\quad b_2=1$$

   Так как старший коэффициент положителен, то

   $$9b^2-8b-1>0 \iff b<-\frac{1}{9}\ \text{или}\ b>1.$$

2. Для уравнения $$2x^2+2(b-4)x+b=0$$ условие двух различных действительных корней:

   $$D=[2(b-4)]^2-4\cdot 2\cdot b>0$$

   $$4(b-4)^2-8b>0$$

   $$b^2-10b+16>0$$

   Найдём корни:

   $$D_2=10^2-4\cdot 16=100-64=36$$

   $$b_{1,2}=\frac{10\pm 6}{2}$$

   $$b_1=2,\quad b_2=8$$

   Следовательно,

   $$b^2-10b+16>0 \iff b<2\ \text{или}\ b>8.$$

Ответ

1) $$(-\infty;-\frac{1}{9})\cup(1;+\infty)$$

2) $$(-\infty;2)\cup(8;+\infty)$$