Упр.20.23 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)
1) Составьте таблицу распределения вероятностей количества забитых мячей в серии из пяти пенальти.
2) С точностью до 1% вычислите вероятности из составленной таблицы распределения, если р=0,8.
3) Основываясь на полученных в пункте 2 приближённых значениях вероятностей и пользуясь определением математического ожидания, найдите математическое ожидание количества забитых мячей в серии из пяти пенальти.
4) Сколько забитых мячей следовало бы ожидать в серии из 20 ударов при р=0,8?
Пусть $$X$$ — число забитых мячей в серии из пяти пенальти. Тогда $$X$$ имеет биномиальное распределение с параметрами $$n=5$$ и $$p$$, где $$q=1-p$$.
1) Вероятности для таблицы распределения:
$$P(X=k)=C_5^k p^k q^{5-k}, \quad k=0,1,2,3,4,5.$$
Тогда
| $$x$$ | $$P(x)$$ |
|---|---|
| $$0$$ | $$q^5$$ |
| $$1$$ | $$5pq^4$$ |
| $$2$$ | $$10p^2q^3$$ |
| $$3$$ | $$10p^3q^2$$ |
| $$4$$ | $$5p^4q$$ |
| $$5$$ | $$p^5$$ |
2) При $$p=0{,}8$$ имеем $$q=0{,}2$$. Тогда:
$$P(0)=0{,}2^5=0{,}00032 \approx 0\%,$$
$$P(1)=5\cdot 0{,}8\cdot 0{,}2^4=0{,}0064 \approx 1\%,$$
$$P(2)=10\cdot 0{,}8^2\cdot 0{,}2^3=0{,}0512 \approx 5\%,$$
$$P(3)=10\cdot 0{,}8^3\cdot 0{,}2^2=0{,}2048 \approx 20\%,$$
$$P(4)=5\cdot 0{,}8^4\cdot 0{,}2=0{,}4096 \approx 41\%,$$
$$P(5)=0{,}8^5=0{,}32768 \approx 33\%.$$
3) Найдём математическое ожидание по приближённым значениям:
$$M(X)\approx 0\cdot 0+1\cdot 0{,}01+2\cdot 0{,}05+3\cdot 0{,}20+4\cdot 0{,}41+5\cdot 0{,}33.$$
$$M(X)\approx 0{,}01+0{,}10+0{,}60+1{,}64+1{,}65=4.$$
4) Для серии из 20 ударов математическое ожидание равно:
$$M= np = 20\cdot 0{,}8=16.$$
Ответ
1) $$P(0)=q^5,\; P(1)=5pq^4,\; P(2)=10p^2q^3,\; P(3)=10p^3q^2,\; P(4)=5p^4q,\; P(5)=p^5.$$
2) $$0\%,\; 1\%,\; 5\%,\; 20\%,\; 41\%,\; 33\%.$$
3) $$4.$$
4) $$16.$$
