Упр.2.17 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)
1) 3·2^(2x)-5·6^x+2·3^(2x)=0; 3) 7·49^x+3·28^x=4·16^x;
2) 2^(2x+1)-7·10^x+25^(x+0,5)=0; 4) 9^x+4^x=2·6^x.
$$3\cdot 2^{2x}-5\cdot 6^x+2\cdot 3^{2x}=0$$
Представим всё через $$\left(\frac{2}{3}\right)^x$$:
$$3\cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{2x}-5\cdot \left(\frac{2}{3}\right)^x+2=0.$$
Пусть $$t=\left(\frac{2}{3}\right)^x$$, тогда
$$3t^2-5t+2=0.$$
$$D=25-24=1,$$
$$t_{1,2}=\frac{5\pm 1}{6}.$$
Отсюда
$$t_1=1,\quad t_2=\frac{2}{3}.$$
Тогда
$$\left(\frac{2}{3}\right)^x=1 \Rightarrow x=0,$$
$$\left(\frac{2}{3}\right)^x=\frac{2}{3} \Rightarrow x=1.$$
$$2^{2x+1}-7\cdot 10^x+25^{x+0,5}=0$$
Перепишем:
$$2\cdot 2^{2x}-7\cdot 10^x+5\cdot 5^{2x}=0.$$
Представим через $$\left(\frac{2}{5}\right)^x$$:
$$2\cdot \left(\frac{2}{5}\right)^{2x}-7\cdot \left(\frac{2}{5}\right)^x+5=0.$$
Пусть $$t=\left(\frac{2}{5}\right)^x$$, тогда
$$2t^2-7t+5=0.$$
$$D=49-40=9,$$
$$t_{1,2}=\frac{7\pm 3}{4}.$$
Получаем
$$t_1=1,\quad t_2=\frac{5}{2}.$$
Тогда
$$\left(\frac{2}{5}\right)^x=1 \Rightarrow x=0,$$
$$\left(\frac{2}{5}\right)^x=\frac{5}{2} \Rightarrow x=-1.$$
$$7\cdot 49^x+3\cdot 28^x=4\cdot 16^x$$
Перепишем:
$$7\cdot 7^{2x}+3\cdot 7^x4^x-4\cdot 4^{2x}=0.$$
Представим через $$\left(\frac{7}{4}\right)^x$$:
$$7\cdot \left(\frac{7}{4}\right)^{2x}+3\cdot \left(\frac{7}{4}\right)^x-4=0.$$
Пусть $$t=\left(\frac{7}{4}\right)^x$$, тогда
$$7t^2+3t-4=0.$$
$$D=9+112=121,$$
$$t_{1,2}=\frac{-3\pm 11}{14}.$$
Получаем
$$t_1=-1,\quad t_2=\frac{4}{7}.$$
Так как $$t=\left(\frac{7}{4}\right)^x>0,$$ значение $$t_1=-1$$ не подходит. Тогда
$$\left(\frac{7}{4}\right)^x=\frac{4}{7}=\left(\frac{7}{4}\right)^{-1},$$
значит, $$x=-1.$$
$$9^x+4^x=2\cdot 6^x$$
Перепишем:
$$3^{2x}+2^{2x}=2\cdot 3^x2^x.$$
Тогда
$$3^{2x}-2\cdot 3^x2^x+2^{2x}=0,$$
$$\left(3^x-2^x\right)^2=0.$$
Следовательно,
$$3^x=2^x,$$
откуда
$$x=0.$$
Ответ
1) $$0; 1$$ 2) $$-1; 0$$ 3) $$-1$$ 4) $$0$$
