Упр.2.16 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) 8^(2/x)-2^((2x+3)/x)-32=0; 3) 2^(cos(2x))-3·2^(cos^2(x))+4=0.
2) 5^(v(x-2))-5^(1-v(x-2))-4=0;

1. $$8^{\frac{2}{x}}-2^{\frac{2x+3}{x}}-32=0$$

   Так как $$8=2^3$$, получаем

   $$2^{\frac{6}{x}}-2^2\cdot 2^{\frac{3}{x}}-32=0.$$

   Обозначим $$t=2^{\frac{3}{x}}$$, тогда $$t^2=2^{\frac{6}{x}}$$. Имеем квадратное уравнение

   $$t^2-4t-32=0.$$

   $$D=4^2+4\cdot 32=16+128=144,$$

   $$t_{1,2}=\frac{4\pm 12}{2}.$$

   Отсюда $$t_1=-4$$, $$t_2=8$$. Так как $$t=2^{\frac{3}{x}}>0$$, подходит только $$t=8$$.

   $$2^{\frac{3}{x}}=8=2^3,$$

   $$\frac{3}{x}=3,\quad x=1.$$

2. $$5^{\sqrt{x-2}}-5^{1-\sqrt{x-2}}-4=0$$

   Пусть $$t=5^{\sqrt{x-2}}$$. Тогда

   $$5^{1-\sqrt{x-2}}=\frac{5}{5^{\sqrt{x-2}}}=\frac{5}{t}.$$

   Получаем

   $$t-\frac{5}{t}-4=0.$$

   Умножим на $$t$$:

   $$t^2-4t-5=0.$$

   $$D=4^2+4\cdot 5=16+20=36,$$

   $$t_{1,2}=\frac{4\pm 6}{2}.$$

   Тогда $$t_1=-1$$, $$t_2=5$$. Так как $$t=5^{\sqrt{x-2}}>0$$, подходит только $$t=5$$.

   $$5^{\sqrt{x-2}}=5^1,$$

   $$\sqrt{x-2}=1,\quad x-2=1,\quad x=3.$$

3. $$2^{\cos 2x}-3\cdot 2^{\cos^2 x}+4=0$$

   Используем формулу $$\cos 2x=2\cos^2 x-1$$:

   $$2^{2\cos^2 x-1}-3\cdot 2^{\cos^2 x}+4=0.$$

   Пусть $$t=2^{\cos^2 x}$$. Тогда

   $$2^{2\cos^2 x-1}=\frac{1}{2}\cdot 2^{2\cos^2 x}=\frac{1}{2}t^2.$$

   Получаем

   $$\frac{1}{2}t^2-3t+4=0.$$

   Умножим на $$2$$:

   $$t^2-6t+8=0.$$

   $$D=6^2-4\cdot 8=36-32=4,$$

   $$t_{1,2}=\frac{6\pm 2}{2}.$$

   Следовательно, $$t_1=2$$, $$t_2=4$$.

   Если $$2^{\cos^2 x}=2$$, то $$\cos^2 x=1$$, откуда $$\cos x=\pm 1$$ и $$x=\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

   Если $$2^{\cos^2 x}=4$$, то $$\cos^2 x=2,$$ что невозможно.

Ответ

1) $$x=1$$; 2) $$x=3$$; 3) $$x=\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$