Упр.2.13 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) 2^x+2^(x-1)+2^(x-2)=3^x-3^(x-1)+3^(x-2);
2) 3^(x^2+2)-5^(x^2-1)=5^(x^2+1)+3^(x^2-1);
3) 7^x-5^(x+2)=2·7^(x-1)-118·5^(x-1).

1. $$2^x+2^{x-1}+2^{x-2}=3^x-3^{x-1}+3^{x-2}$$

   Вынесем общие множители:
   $$2^x\left(1+\frac12+\frac14\right)=3^x\left(1-\frac13+\frac19\right)$$

   $$2^x\cdot \frac74=3^x\cdot \frac79$$

   $$\left(\frac23\right)^x=\frac49=\left(\frac23\right)^2$$

   Следовательно,
   $$x=2.$$

2. $$3^{x^2+2}-5^{x^2-1}=5^{x^2+1}+3^{x^2-1}$$

   Перенесём слагаемые с одинаковыми основаниями в одну сторону:
   $$3^{x^2}\cdot 3^2-3^{x^2}\cdot 3^{-1}=5^{x^2}\cdot 5+5^{x^2}\cdot 5^{-1}$$

   $$3^{x^2}\left(9-\frac13\right)=5^{x^2}\left(5+\frac15\right)$$

   $$3^{x^2}\cdot \frac{26}{3}=5^{x^2}\cdot \frac{26}{5}$$

   $$\left(\frac35\right)^{x^2}=\frac35$$

   Тогда
   $$x^2=1,$$
   откуда
   $$x=-1 \text{ или } x=1.$$

3. $$7^x-5^{x+2}=2\cdot 7^{x-1}-118\cdot 5^{x-1}$$

   Преобразуем степени:
   $$7^x-2\cdot 7^x\cdot 7^{-1}=5^x\cdot 5^2-118\cdot 5^x\cdot 5^{-1}$$

   $$7^x\left(1-\frac27\right)=5^x\left(25-\frac{118}{5}\right)$$

   $$7^x\cdot \frac57=5^x\cdot \frac75$$

   $$\left(\frac75\right)^x=\frac{49}{25}=\left(\frac75\right)^2$$

   Следовательно,
   $$x=2.$$

Ответ

1) $$2$$; 2) $$-1,\,1$$; 3) $$2$$.