Упр.194 Повторение ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) имеет единственное решение;
2) имеет два решения;
3) не имеет решений?

Из второго уравнения выразим $$x$$:

$$x-y=a \;\Rightarrow\; x=y+a.$$

Подставим в первое уравнение:

$$
(y+a)^2+y^2=16
$$

$$
y^2+2ay+a^2+y^2=16
$$

$$
2y^2+2ay+(a^2-16)=0.
$$

Это квадратное уравнение относительно $$y$$. Число решений системы равно числу действительных корней этого уравнения. Найдём дискриминант:

$$
D=(2a)^2-4\cdot 2\cdot (a^2-16)
$$

$$
D=4a^2-8a^2+128=128-4a^2=4(32-a^2).
$$

Тогда:

• если $$D=0$$, система имеет единственное решение;
• если $$D>0$$, система имеет два решения;
• если $$D<0$$, система не имеет решений.

1) Единственное решение:

$$
128-4a^2=0 \;\Rightarrow\; a^2=32 \;\Rightarrow\; a=\pm 4\sqrt{2}.
$$

2) Два решения:

$$
128-4a^2>0 \;\Rightarrow\; a^2<32 \;\Rightarrow\; |a|<4\sqrt{2}.
$$

3) Нет решений:

$$
128-4a^2<0 \;\Rightarrow\; a^2>32 \;\Rightarrow\; |a|>4\sqrt{2}.
$$

Ответ

1) $$a=\pm 4\sqrt{2}$$;

2) $$|a|<4\sqrt{2}$$;

3) $$|a|>4\sqrt{2}$$.