Упр.192 Повторение ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) {y-x=0, 2x+y=-6}; 2) {x+y=-1, 2x+2y=-3};
3) {x^2-y=6, x+y=6}; 4) {(x+2)^2+y^2=10, x-y+4=0};
5) {xy=8, x+y=-6}; 6) {x^2+y^2=13, xy=6}.

1. $$\begin{cases}
   y-x=0,\\
   2x+y=-6
   \end{cases}$$
   Из первого уравнения получаем $$y=x$$. Подставим во второе:
   $$2x+x=-6,$$
   $$3x=-6,$$
   $$x=-2,$$
   $$y=-2.$$

   Ответ: $$(-2;\,-2)$$.

2. $$\begin{cases}
   x+y=-1,\\
   2x+2y=-3
   \end{cases}$$
   Умножим первое уравнение на $$2$$:
   $$2x+2y=-2.$$
   Получили противоречие с уравнением $$2x+2y=-3$$, значит, система решений не имеет.

   Ответ: решений нет.

3. $$\begin{cases}
   x^2-y=6,\\
   x+y=6
   \end{cases}$$
   Из второго уравнения:
   $$y=6-x.$$
   Подставим в первое:
   $$x^2-(6-x)=6,$$
   $$x^2+x-12=0,$$
   $$\left(x+4\right)\left(x-3\right)=0.$$
   Тогда $$x=-4$$ или $$x=3$$.

   Если $$x=-4$$, то $$y=6-(-4)=10$$.
   Если $$x=3$$, то $$y=6-3=3$$.

   Ответ: $$(-4;\,10),\ (3;\,3)$$.

4. $$\begin{cases}
   (x+2)^2+y^2=10,\\
   x-y+4=0
   \end{cases}$$
   Из второго уравнения:
   $$y=x+4.$$
   Подставим в первое:
   $$\left(x+2\right)^2+\left(x+4\right)^2=10,$$
   $$x^2+4x+4+x^2+8x+16=10,$$
   $$2x^2+12x+10=0,$$
   $$x^2+6x+5=0,$$
   $$\left(x+1\right)\left(x+5\right)=0.$$
   Тогда $$x=-1$$ или $$x=-5$$.

   Если $$x=-1$$, то $$y=3$$.
   Если $$x=-5$$, то $$y=-1$$.

   Ответ: $$(-5;\,-1),\ (-1;\,3)$$.

5. $$\begin{cases}
   xy=8,\\
   x+y=-6
   \end{cases}$$
   Из второго уравнения $$y=-6-x$$. Подставим в первое:
   $$x(-6-x)=8,$$
   $$x^2+6x+8=0,$$
   $$\left(x+2\right)\left(x+4\right)=0.$$
   Тогда $$x=-2$$ или $$x=-4$$.

   Если $$x=-2$$, то $$y=-4$$.
   Если $$x=-4$$, то $$y=-2$$.

   Ответ: $$(-4;\,-2),\ (-2;\,-4)$$.

6. $$\begin{cases}
   x^2+y^2=13,\\
   xy=6
   \end{cases}$$
   Используем формулу:
   $$\left(x+y\right)^2=x^2+2xy+y^2.$$
   Тогда
   $$\left(x+y\right)^2=13+2\cdot 6=25,$$
   $$x+y=5 \text{ или } x+y=-5.$$

   1) Если $$x+y=5$$, то
   $$\begin{cases}
   x+y=5,\\
   xy=6
   \end{cases}$$
   Тогда $$x$$ и $$y$$ — корни уравнения
   $$t^2-5t+6=0,$$
   $$\left(t-2\right)\left(t-3\right)=0.$$
   Значит, $$t=2$$ или $$t=3$$, откуда точки $$\left(2;\,3\right)$$ и $$\left(3;\,2\right)$$.

   2) Если $$x+y=-5$$, то
   $$\begin{cases}
   x+y=-5,\\
   xy=6
   \end{cases}$$
   Тогда
   $$t^2+5t+6=0,$$
   $$\left(t+2\right)\left(t+3\right)=0.$$
   Значит, $$t=-2$$ или $$t=-3$$, откуда точки $$\left(-2;\,-3\right)$$ и $$\left(-3;\,-2\right)$$.

   Ответ: $$(-3;\,-2),\ (-2;\,-3),\ (2;\,3),\ (3;\,2)$$.