Упр.190 Повторение ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) {x^2+2xy+y^2=64, x-y=2};
2) {9x^2-6xy+y^2=9, 2x^2+2xy-y^2=11};
3) {x^2-xy=-6, y^2-xy=22};
4) {3x^2+2y^2=18, 3x^2-2y^2=12};
5) {xy-y=-12, 5x-xy=1};
6) {x^2+4y^2=8, xy=2}.

1. $$\begin{cases}
   x^2+2xy+y^2=64,\\
   x-y=2
   \end{cases}$$
   Из второго уравнения $$y=x-2$$. Подставим в первое:
   $$x^2+2x(x-2)+(x-2)^2=64,$$
   $$x^2+2x^2-4x+x^2-4x+4=64,$$
   $$4x^2-8x-60=0,$$
   $$x^2-2x-15=0,$$
   $$(x-5)(x+3)=0.$$
   Тогда $$x=5$$ или $$x=-3$$.
   Найдём $$y$$:
   $$x=5 \Rightarrow y=3,$$
   $$x=-3 \Rightarrow y=-5.$$

   Ответ: $$(-3;\,-5),\ (5;\,3).$$

2. $$\begin{cases}
   9x^2-6xy+y^2=9,\\
   2x^2+2xy-y^2=11
   \end{cases}$$
   Первое уравнение:
   $$(3x-y)^2=9,$$
   значит,
   $$3x-y=3 \quad \text{или} \quad 3x-y=-3.$$

   1) Если $$3x-y=3,$$ то $$y=3x-3.$$ Подставим во второе уравнение:
   $$2x^2+2x(3x-3)-(3x-3)^2=11,$$
   $$2x^2+6x^2-6x-9x^2+18x-9=11,$$
   $$x^2+12x-20=0.$$
   Отсюда
   $$x=\frac{-12\pm 16}{2},$$
   $$x=-14 \quad \text{или} \quad x=2.$$
   Тогда
   $$x=-14 \Rightarrow y=-45,$$
   $$x=2 \Rightarrow y=3.$$

   2) Если $$3x-y=-3,$$ то $$y=3x+3.$$ Подставим:
   $$2x^2+2x(3x+3)-(3x+3)^2=11,$$
   $$2x^2+6x^2+6x-9x^2-18x-9=11,$$
   $$x^2-12x-20=0.$$
   Отсюда
   $$x=\frac{12\pm 16}{2},$$
   $$x=-2 \quad \text{или} \quad x=14.$$
   Тогда
   $$x=-2 \Rightarrow y=-3,$$
   $$x=14 \Rightarrow y=45.$$

   Ответ: $$(-14;\,-45),\ (2;\,3),\ (-2;\,-3),\ (14;\,45).$$

3. $$\begin{cases}
   x^2-xy=-6,\\
   y^2-xy=22
   \end{cases}$$
   Сложим уравнения:
   $$x^2-2xy+y^2=16,$$
   $$(x-y)^2=16,$$
   $$x-y=4 \quad \text{или} \quad x-y=-4.$$

   1) Если $$x-y=4,$$ то $$y=x-4.$$ Подставим в первое уравнение:
   $$x^2-x(x-4)=-6,$$
   $$4x=-6,$$
   $$x=-\frac{3}{2}, \quad y=-\frac{11}{2}.$$

   2) Если $$x-y=-4,$$ то $$y=x+4.$$ Тогда
   $$x^2-x(x+4)=-6,$$
   $$-4x=-6,$$
   $$x=\frac{3}{2}, \quad y=\frac{11}{2}.$$

   Ответ: $$\left(-\frac{3}{2};\,-\frac{11}{2}\right),\ \left(\frac{3}{2};\,\frac{11}{2}\right).$$

4. $$\begin{cases}
   3x^2+2y^2=18,\\
   3x^2-2y^2=12
   \end{cases}$$
   Сложим уравнения:
   $$6x^2=30,$$
   $$x^2=5,$$
   $$x=\pm \sqrt{5}.$$
   Вычтем второе уравнение из первого:
   $$4y^2=6,$$
   $$y^2=\frac{3}{2},$$
   $$y=\pm \frac{\sqrt{6}}{2}.$$

   Подходят все сочетания знаков:
   $$\left(-\sqrt{5};\,-\frac{\sqrt{6}}{2}\right),\ \left(-\sqrt{5};\,\frac{\sqrt{6}}{2}\right),\ \left(\sqrt{5};\,-\frac{\sqrt{6}}{2}\right),\ \left(\sqrt{5};\,\frac{\sqrt{6}}{2}\right).$$

   Ответ: $$\left(-\sqrt{5};\,-\frac{\sqrt{6}}{2}\right),\ \left(-\sqrt{5};\,\frac{\sqrt{6}}{2}\right),\ \left(\sqrt{5};\,-\frac{\sqrt{6}}{2}\right),\ \left(\sqrt{5};\,\frac{\sqrt{6}}{2}\right).$$

5. $$\begin{cases}
   xy-y=-12,\\
   5x-xy=1
   \end{cases}$$
   Сложим уравнения:
   $$5x-y=-11,$$
   $$y=5x+11.$$
   Подставим во второе уравнение:
   $$5x-x(5x+11)=1,$$
   $$5x-5x^2-11x=1,$$
   $$5x^2+6x+1=0,$$
   $$(5x+1)(x+1)=0.$$
   Тогда
   $$x=-1 \quad \text{или} \quad x=-\frac{1}{5}.$$
   Найдём $$y$$:
   $$x=-1 \Rightarrow y=6,$$
   $$x=-\frac{1}{5} \Rightarrow y=10.$$

   Ответ: $$(-1;\,6),\ \left(-\frac{1}{5};\,10\right).$$

6. $$\begin{cases}
   x^2+4y^2=8,\\
   xy=2
   \end{cases}$$
   Из второго уравнения
   $$y=\frac{2}{x}, \quad x\ne 0.$$
   Подставим в первое:
   $$x^2+4\left(\frac{2}{x}\right)^2=8,$$
   $$x^2+\frac{16}{x^2}=8.$$
   Умножим на $$x^2$$:
   $$x^4-8x^2+16=0,$$
   $$(x^2-4)^2=0,$$
   $$x^2=4,$$
   $$x=\pm 2.$$
   Тогда
   $$x=2 \Rightarrow y=1,$$
   $$x=-2 \Rightarrow y=-1.$$

   Ответ: $$(-2;\,-1),\ (2;\,1).$$