Упр.19.17 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) |x^2+3x| < x+4; 2) |x^2+3x|?2-x^2.

1. $$|x^2+3x|

   Так как модуль неотрицателен, то правая часть должна быть положительной:

   $$x+4>0,$$

   иначе неравенство невозможно.

   Рассмотрим два случая.

   1) $$x^2+3x\ge 0.$$ Тогда

   $$x^2+3x<x+4,$$

   $$x^2+2x-4<0.$$

   Найдём корни уравнения $$x^2+2x-4=0$$:

   $$D=2^2-4\cdot 1\cdot(-4)=20,$$

   $$x=\frac{-2\pm\sqrt{20}}{2}=-1\pm\sqrt5.$$

   Значит,

   $$-1-\sqrt5<x<-1+\sqrt5.$$

   С учётом условия $$x^2+3x\ge 0$$ получаем:

   $$(-1-\sqrt5;-2]\cup[0;-1+\sqrt5).$$

   2) $$x^2+3x<0.$$ Тогда

   $$-(x^2+3x)<x+4,$$

   $$x^2+4x+4>0,$$

   $$ (x+2)^2>0.$$

   Это верно при всех $$x\ne -2$$. С учётом условия $$x^2+3x<0$$ имеем:

   $$-3<x<0,\quad x\ne -2,$$

   то есть

   $$(-3;-2)\cup(-2;0).$$

   Объединяя результаты, получаем:

   $$(-1-\sqrt5;-2]\cup(-3;0)\cup[0;-1+\sqrt5)=(-1-\sqrt5;-2)\cup(-2;-1+\sqrt5).$$

2. $$|x^2+3x|\ge 2-x^2$$

   Рассмотрим два случая.

   1) $$x^2+3x\ge 0.$$ Тогда

   $$x^2+3x\ge 2-x^2,$$

   $$2x^2+3x-2\ge 0.$$

   Найдём корни уравнения $$2x^2+3x-2=0$$:

   $$D=3^2-4\cdot 2\cdot(-2)=25,$$

   $$x=\frac{-3\pm 5}{4},\quad x_1=-2,\quad x_2=\frac12.$$

   Тогда

   $$2x^2+3x-2\ge 0 \iff x\le -2 \text{ или } x\ge \frac12.$$

   С учётом условия $$x^2+3x\ge 0$$ получаем:

   $$(-\infty;-3]\cup\left[\frac12;+\infty\right).$$

   2) $$x^2+3x<0.$$ Тогда

   $$-(x^2+3x)\ge 2-x^2,$$

   $$3x\le -2,$$

   $$x\le -\frac23.$$

   С учётом условия $$x^2+3x<0$$ имеем:

   $$(-3;0)\cap\left(-\infty;-\frac23\right]=(-3;-\frac23].$$

   Объединяя оба случая, получаем:

   $$(-\infty;-\frac23]\cup\left[\frac12;+\infty\right).$$

Ответ

1) $$(-1-\sqrt5;-2)\cup(-2;-1+\sqrt5)$$

2) $$(-\infty;-\frac23]\cup\left[\frac12;+\infty\right)$$