Упр.19.16 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 11 класс, Просвещение: 19.16. Гроссмейстер проводит сеанс одновременной игры в шахматы на 40 досках. Вероятность того, что гроссмейстер выиграет каждую отдельную партию, равна 97%. Какова вероятность того, что в сеансе гроссмейстер выиграет не менее 38 партий?

Обозначим вероятность выигрыша одной партии через $$p=0{,}97,$$ тогда вероятность проигрыша одной партии равна $$q=1-p=0{,}03.$$

Число выигранных партий в 40 независимых играх имеет биномиальное распределение. Нужно найти вероятность того, что гроссмейстер выиграет не менее 38 партий:

$$P=P(38)+P(39)+P(40).$$

По формуле Бернулли:

$$
P=C_{40}^{38}p^{38}q^2+C_{40}^{39}p^{39}q+C_{40}^{40}p^{40}.
$$

Вычислим:

$$
C_{40}^{38}=\frac{40\cdot39}{2}=780,\qquad C_{40}^{39}=40,\qquad C_{40}^{40}=1.
$$

$$
P\approx 780\cdot 0{,}97^{38}\cdot 0{,}03^2+40\cdot 0{,}97^{39}\cdot 0{,}03+0{,}97^{40}.
$$

$$
P\approx 0{,}2184+0{,}3660+0{,}2957\approx 0{,}8801.
$$

Следовательно, вероятность того, что гроссмейстер выиграет не менее 38 партий, составляет примерно $$0{,}88,$$ то есть $$88\%.$$

Ответ

$$88\%$$