Упр.19.12 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 11 класс, Просвещение: 19.12. Есть r ящиков, в каждом из которых лежат n чёрных и m белых шаров. Из каждого ящика наугад берут по одному шару. Какова вероятность того, что среди взятых шаров будет ровно k чёрных?

Вероятность вынуть из одного ящика чёрный шар равна

$$p=\frac{n}{n+m},$$

а белый шар —

$$q=\frac{m}{n+m}.$$

Из каждого из $$r$$ ящиков берут по одному шару, значит, события выбора шаров из разных ящиков независимы. Нужно, чтобы среди $$r$$ вынутых шаров было ровно $$k$$ чёрных. Это можно сделать $$C_r^k$$ способами: выбрать, из каких именно $$k$$ ящиков будут взяты чёрные шары.

Для каждого такого выбора вероятность равна

$$p^k q^{\,r-k}.$$

Тогда искомая вероятность:

$$P=C_r^k\left(\frac{n}{n+m}\right)^k\left(\frac{m}{n+m}\right)^{r-k}.$$

Ответ

$$P=C_r^k\left(\frac{n}{n+m}\right)^k\left(\frac{m}{n+m}\right)^{r-k}.$$