Упр.189 Повторение ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) прямой y=2-5x и параболы y=x^2+x-5;
2) прямой x-y+5=0 и окружности (x+3)^2+(y-1)^2=13;
3) прямой y=3x-10 и окружности x^2+y^2=10;
4) парабол y=4x^2+5x+2 и y=-2x^2-3x-2.

1. Найдём точки пересечения прямой $$y=2-5x$$ и параболы $$y=x^2+x-5$$.

   Приравняем правые части:

   $$2-5x=x^2+x-5$$

   $$x^2+6x-7=0$$

   $$D=6^2-4\cdot 1\cdot(-7)=36+28=64$$

   $$x_1=\frac{-6-8}{2}=-7,\qquad x_2=\frac{-6+8}{2}=1$$

   Найдём соответствующие значения $$y$$:

   $$y_1=2-5\cdot(-7)=37,\qquad y_2=2-5\cdot 1=-3$$

2. Найдём точки пересечения прямой $$x-y+5=0$$ и окружности $$\left(x+3\right)^2+\left(y-1\right)^2=13$$.

   Из уравнения прямой:

   $$y=x+5$$

   Подставим в уравнение окружности:

   $$\left(x+3\right)^2+\left(x+4\right)^2=13$$

   $$x^2+6x+9+x^2+8x+16=13$$

   $$2x^2+14x+12=0$$

   $$x^2+7x+6=0$$

   $$D=7^2-4\cdot 1\cdot 6=49-24=25$$

   $$x_1=\frac{-7-5}{2}=-6,\qquad x_2=\frac{-7+5}{2}=-1$$

   Тогда

   $$y_1=-6+5=-1,\qquad y_2=-1+5=4$$

3. Найдём точки пересечения прямой $$y=3x-10$$ и окружности $$x^2+y^2=10$$.

   Подставим выражение для $$y$$ в уравнение окружности:

   $$x^2+\left(3x-10\right)^2=10$$

   $$x^2+9x^2-60x+100=10$$

   $$10x^2-60x+90=0$$

   $$x^2-6x+9=0$$

   $$\left(x-3\right)^2=0$$

   $$x=3,\qquad y=3\cdot 3-10=-1$$

4. Найдём точки пересечения парабол $$y=4x^2+5x+2$$ и $$y=-2x^2-3x-2$$.

   Приравняем правые части:

   $$4x^2+5x+2=-2x^2-3x-2$$

   $$6x^2+8x+4=0$$

   $$3x^2+4x+2=0$$

   $$D=4^2-4\cdot 3\cdot 2=16-24=-8$$

   Так как $$D<0$$, действительных решений нет.

Ответ

1) $$(-7;\,37),\ (1;\,-3)$$; 2) $$(-6;\,-1),\ (-1;\,4)$$; 3) $$\left(3;\,-1\right)$$; 4) точек пересечения нет.