Упр.170 Повторение ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) (x^2+6x)^2+(x^2+6x)-56=0;
2) (x^2+4x+3)(x^2+4x+5)=15;
3) x^4/(x+4)^2+23x^2/(x+4)-50=0;
4) (x+3)/(x-2)-(x-2)/(x+3)=3/2.

1. $$\left(x^2+6x\right)^2+\left(x^2+6x\right)-56=0.$$
   Пусть $$y=x^2+6x,$$ тогда
   $$y^2+y-56=0.$$
   $$D=1+224=225,$$
   $$y_{1,2}=\frac{-1\pm 15}{2}.$$
   Получаем:
   $$y_1=-8,\quad y_2=7.$$

   1) $$x^2+6x=-8,$$
   $$x^2+6x+8=0,$$
   $$\left(x+4\right)\left(x+2\right)=0,$$
   $$x=-4,\,-2.$$

   2) $$x^2+6x=7,$$
   $$x^2+6x-7=0,$$
   $$D=36+28=64,$$
   $$x=\frac{-6\pm 8}{2},$$
   откуда
   $$x=-7,\ 1.$$

2. $$\left(x^2+4x+3\right)\left(x^2+4x+5\right)=15.$$
   Пусть $$y=x^2+4x+3,$$ тогда
   $$y(y+2)=15,$$
   $$y^2+2y-15=0.$$
   $$D=4+60=64,$$
   $$y_{1,2}=\frac{-2\pm 8}{2}.$$
   Значит,
   $$y_1=-5,\quad y_2=3.$$

   1) $$x^2+4x+3=-5,$$
   $$x^2+4x+8=0,$$
   $$D=16-32=-16,$$
   действительных корней нет.

   2) $$x^2+4x+3=3,$$
   $$x^2+4x=0,$$
   $$x\left(x+4\right)=0,$$
   $$x=0,\,-4.$$

3. $$\frac{x^4}{(x+4)^2}+\frac{23x^2}{x+4}-50=0,$$
   $$x\ne -4.$$
   Пусть
   $$y=\frac{x^2}{x+4},$$
   тогда
   $$y^2+23y-50=0.$$
   $$D=23^2+200=729,$$
   $$y_{1,2}=\frac{-23\pm 27}{2}.$$
   Получаем:
   $$y_1=-25,\quad y_2=2.$$

   1) $$\frac{x^2}{x+4}=-25,$$
   $$x^2+25x+100=0,$$
   $$D=625-400=225,$$
   $$x=\frac{-25\pm 15}{2},$$
   откуда
   $$x=-20,\,-5.$$

   2) $$\frac{x^2}{x+4}=2,$$
   $$x^2-2x-8=0,$$
   $$D=4+32=36,$$
   $$x=\frac{2\pm 6}{2},$$
   откуда
   $$x=-2,\ 4.$$

4. $$\frac{x+3}{x-2}-\frac{x-2}{x+3}=\frac{3}{2},$$
   $$x\ne 2,\ -3.$$
   Пусть
   $$y=\frac{x+3}{x-2},$$
   тогда
   $$y-\frac{1}{y}=\frac{3}{2}.$$
   Умножим на $$2y$$:
   $$2y^2-3y-2=0.$$
   $$D=9+16=25,$$
   $$y_{1,2}=\frac{3\pm 5}{4}.$$
   Значит,
   $$y_1=-\frac{1}{2},\quad y_2=2.$$

   1) $$\frac{x+3}{x-2}=-\frac{1}{2},$$
   $$2(x+3)=-(x-2),$$
   $$2x+6=-x+2,$$
   $$3x=-4,$$
   $$x=-\frac{4}{3}.$$

   2) $$\frac{x+3}{x-2}=2,$$
   $$x+3=2(x-2),$$
   $$x=7.$$

Ответ

1) $$-7,\,-4,\,-2,\,1$$
2) $$-4,\,0$$
3) $$-20,\,-5,\,-2,\,4$$
4) $$-\frac{4}{3},\,7$$