Упр.165 Повторение ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) (2x-1)/(2x+1)-(2x+1)/(2x-1)=4/(1-4x^2);
2) (x^2+8x)/(x+10)=20/(x+10);
3) (x^2-4)/(x+1)=3x/(x+1);
4) (x+1)/(x-2)+x/(x+2)=8/(x^2-4);
5) (x+1)/(x+3)+(x-1)/(x-3)=(2x+18)/(x^2-9);
6) 10/(x^2-5x)-(x-3)/(x-5)=1/x;
7) 4x/(x^2-4x+4)-(x+2)/(x^2-2x)=1/x;
8) 4/(x^2-49)-2/(x^2-7x)+(x-4)/(x^2+7x)=0.

1. $$\frac{2x-1}{2x+1}-\frac{2x+1}{2x-1}=\frac{4}{1-4x^2}$$

   Приведём к общему знаменателю:
   $$\frac{(2x-1)^2-(2x+1)^2}{(2x+1)(2x-1)}=\frac{4}{1-4x^2}$$
   $$\frac{-8x}{4x^2-1}=\frac{4}{1-4x^2}$$
   $$\frac{8x}{1-4x^2}=\frac{4}{1-4x^2}$$
   $$8x=4,\quad x=\frac12.$$

   Но $$1-4x^2\neq 0,$$ значит $$x\neq \pm \frac12.$$ Полученное значение не подходит.

2. $$\frac{x^2+8x}{x+10}=\frac{20}{x+10}$$
   $$x^2+8x=20$$
   $$x^2+8x-20=0$$
   $$D=8^2+4\cdot 20=144$$
   $$x_{1,2}=\frac{-8\pm 12}{2}$$
   $$x_1=-10,\quad x_2=2.$$

   ОДЗ: $$x\neq -10.$$ Поэтому подходит только $$x=2.$$

3. $$\frac{x^2-4}{x+1}=\frac{3x}{x+1}$$
   $$x^2-4=3x$$
   $$x^2-3x-4=0$$
   $$D=9+16=25$$
   $$x_{1,2}=\frac{3\pm 5}{2}$$
   $$x_1=-1,\quad x_2=4.$$

   ОДЗ: $$x\neq -1.$$ Значит, $$x=4.$$

4. $$\frac{x+1}{x-2}+\frac{x}{x+2}=\frac{8}{x^2-4}$$
   $$\frac{(x+1)(x+2)+x(x-2)}{(x-2)(x+2)}=\frac{8}{x^2-4}$$
   $$\frac{x^2+2x+x+2+x^2-2x}{x^2-4}=\frac{8}{x^2-4}$$
   $$2x^2+x+2=8$$
   $$2x^2+x-6=0$$
   $$D=1+48=49$$
   $$x_{1,2}=\frac{-1\pm 7}{4}$$
   $$x_1=-2,\quad x_2=\frac32.$$

   ОДЗ: $$x\neq \pm 2.$$ Подходит только $$x=\frac32.$$

5. $$\frac{x+1}{x+3}+\frac{x-1}{x-3}=\frac{2x+18}{x^2-9}$$
   $$\frac{(x+1)(x-3)+(x-1)(x+3)}{(x-3)(x+3)}=\frac{2x+18}{x^2-9}$$
   $$\frac{x^2-3x+x-3+x^2+3x-x-3}{x^2-9}=\frac{2x+18}{x^2-9}$$
   $$2x^2-x-6=2x+18$$
   $$x^2-x-12=0$$
   $$D=1+48=49$$
   $$x_{1,2}=\frac{1\pm 7}{2}$$
   $$x_1=-3,\quad x_2=4.$$

   ОДЗ: $$x\neq \pm 3.$$ Значит, $$x=4.$$

6. $$\frac{10}{x^2-5x}-\frac{x-3}{x-5}=\frac1x$$
   $$\frac{10}{x(x-5)}-\frac{x-3}{x-5}=\frac1x$$
   $$\frac{10-x(x-3)}{x(x-5)}=\frac1x$$
   $$\frac{10-x^2+3x}{x(x-5)}=\frac1x$$
   $$10-x^2+3x=x-5$$
   $$x^2-2x-15=0$$
   $$ (x-5)(x+3)=0$$
   $$x=5 \text{ или } x=-3.$$

   ОДЗ: $$x\neq 0,\; x\neq 5.$$ Поэтому $$x=-3.$$

7. $$\frac{4x}{x^2-4x+4}-\frac{x+2}{x^2-2x}=\frac1x$$
   $$\frac{4x}{(x-2)^2}-\frac{x+2}{x(x-2)}=\frac1x$$
   $$\frac{4x^2-(x+2)(x-2)}{x(x-2)^2}=\frac1x$$
   $$4x^2-(x^2-4)= (x-2)^2$$
   $$3x^2+4=x^2-4x+4$$
   $$2x(x+2)=0$$
   $$x=0 \text{ или } x=-2.$$

   ОДЗ: $$x\neq 0,\; x\neq 2.$$ Значит, $$x=-2.$$

8. $$\frac{4}{x^2-49}-\frac{2}{x^2-7x}+\frac{x-4}{x^2+7x}=0$$
   $$\frac{4}{(x-7)(x+7)}-\frac{2}{x(x-7)}+\frac{x-4}{x(x+7)}=0$$
   $$\frac{4x-2(x+7)+(x-4)(x-7)}{x(x-7)(x+7)}=0$$
   $$4x-2x-14+x^2-11x+28=0$$
   $$x^2-9x+14=0$$
   $$D=81-56=25$$
   $$x_{1,2}=\frac{9\pm 5}{2}$$
   $$x_1=2,\quad x_2=7.$$

   ОДЗ: $$x\neq -7,\; x\neq 0,\; x\neq 7.$$ Поэтому подходит только $$x=2.$$

Ответ

1) корней нет; 2) $$2$$; 3) $$4$$; 4) $$\frac32$$; 5) $$4$$; 6) $$-3$$; 7) $$-2$$; 8) $$2$$.