Упр.16.9 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1+C(100, 1)3+C(100, 2)3^2+…+C(100, 99)3^99+3^100=1-C(200, 1)3+C(200, 2)3^2-…-C(200, 199)3^199+3^200.

По биному Ньютона имеем:

$$
(1+3)^{100}=\sum_{k=0}^{100} C_{100}^k 1^{100-k}3^k
=1+C_{100}^1 3+C_{100}^2 3^2+\dots+C_{100}^{99}3^{99}+3^{100}.
$$

Значит, левая часть равна

$$
1+C_{100}^1 3+C_{100}^2 3^2+\dots+C_{100}^{99}3^{99}+3^{100}=(1+3)^{100}=4^{100}=2^{200}.
$$

Аналогично, по биному Ньютона:

$$
(1-3)^{200}=\sum_{k=0}^{200} C_{200}^k 1^{200-k}(-3)^k
=1-C_{200}^1 3+C_{200}^2 3^2-\dots-C_{200}^{199}3^{199}+3^{200}.
$$

Следовательно, правая часть равна

$$
1-C_{200}^1 3+C_{200}^2 3^2-\dots-C_{200}^{199}3^{199}+3^{200}=(1-3)^{200}=(-2)^{200}=2^{200}.
$$

Обе части равны одному и тому же числу $$2^{200}$$, значит, равенство доказано.

Ответ

$$
1+C_{100}^1 3+C_{100}^2 3^2+\dots+C_{100}^{99}3^{99}+3^{100}
=
1-C_{200}^1 3+C_{200}^2 3^2-\dots-C_{200}^{199}3^{199}+3^{200}.
$$