Упр.16.8 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1+C(100, 1)3+C(100, 2)3^2+…+C(100, 99)3^99+3^100=5^100-C(100, 1)5^99+C(100, 2)5^98-…-C(100, 99)5+1.

Рассмотрим левую часть:

$$
1+C_{100}^1 3+C_{100}^2 3^2+\dots+C_{100}^{99}3^{99}+3^{100}.
$$

По формуле бинома Ньютона:

$$
(1+3)^{100}=\sum_{k=0}^{100} C_{100}^k 1^{100-k}3^k
=1+C_{100}^1 3+C_{100}^2 3^2+\dots+C_{100}^{99}3^{99}+3^{100}.
$$

Значит,

$$
1+C_{100}^1 3+C_{100}^2 3^2+\dots+C_{100}^{99}3^{99}+3^{100}=4^{100}.
$$

Теперь рассмотрим правую часть:

$$
5^{100}-C_{100}^1 5^{99}+C_{100}^2 5^{98}-\dots-C_{100}^{99}5+1.
$$

Это разложение по биному Ньютона для выражения $$ (5-1)^{100} $$:

$$
(5-1)^{100}=\sum_{k=0}^{100} C_{100}^k 5^{100-k}(-1)^k
=5^{100}-C_{100}^1 5^{99}+C_{100}^2 5^{98}-\dots-C_{100}^{99}5+1.
$$

Следовательно,

$$
5^{100}-C_{100}^1 5^{99}+C_{100}^2 5^{98}-\dots-C_{100}^{99}5+1=4^{100}.
$$

Обе части равны одному и тому же числу $$4^{100}$$, значит, равенство доказано.

Ответ

$$
1+C_{100}^1 3+C_{100}^2 3^2+\dots+C_{100}^{99}3^{99}+3^{100}
=
5^{100}-C_{100}^1 5^{99}+C_{100}^2 5^{98}-\dots-C_{100}^{99}5+1.
$$