Упр.16.20 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 11 класс, Просвещение: 16.20. Вычислите СЃСѓРјРјС‹ A=C(101, 1)+C(101, 3)+C(101, 5)+…+C(101, 101) Рё B=C(101, 0)+C(101, 2)+C(101, 4)+…+C(101, 100).

Рассмотрим разложение бинома $$ (1+1)^{101} $$ и $$ (1-1)^{101} $$ по формуле Ньютона.

Сумма всех биномиальных коэффициентов равна

$$
(1+1)^{101}=C_{101}^0+C_{101}^1+C_{101}^2+\dots+C_{101}^{101}=2^{101}.
$$

Разность суммы коэффициентов при чётных и нечётных степенях равна

$$
(1-1)^{101}=C_{101}^0-C_{101}^1+C_{101}^2-\dots-C_{101}^{101}=0.
$$

Обозначим

$$
A=C_{101}^1+C_{101}^3+C_{101}^5+\dots+C_{101}^{101},
$$
$$
B=C_{101}^0+C_{101}^2+C_{101}^4+\dots+C_{101}^{100}.
$$

Тогда

$$
A+B=2^{101},
$$
$$
B-A=0.
$$

Из второго равенства получаем $$A=B$$, значит

$$
2A=2^{101},
$$
$$
A=2^{100}.
$$

Ответ

$$2^{100}$$