Упр.16.17 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 11 класс, Просвещение: 16.17. Найдите количество нулей в конце десятичной записи значения выражения 1001^1000-1.

Разложим выражение по формуле бинома Ньютона:

$$
1001^{1000}-1=(1000+1)^{1000}-1
$$

$$
(1000+1)^{1000}=1000^{1000}+C_{1000}^{1}1000^{999}+\dots+C_{1000}^{999}1000+1
$$

Тогда

$$
1001^{1000}-1=1000^{1000}+C_{1000}^{1}1000^{999}+\dots+C_{1000}^{999}1000
$$

Во всех слагаемых есть множитель $$1000$$, значит каждое из них оканчивается как минимум на три нуля. Наименьшая степень числа $$1000$$ в разложении — $$1000^1$$, то есть всего в конце записи будет $$3$$ нуля от этого множителя, а в старшем слагаемом $$1000^{1000}$$ — намного больше. Следовательно, количество нулей в конце числа определяется наименьшим числом нулей среди слагаемых, то есть равно $$3$$.

Однако после вычитания $$1$$ в исходном выражении остаётся число, оканчивающееся на $$6$$ нулей, так как все слагаемые, кроме последнего, содержат не менее шести нулей в конце, а наименьшее число нулей в результате даёт слагаемое $$C_{1000}^{999}1000$$, которое содержит ровно $$3$$ нуля, но при сложении с остальными слагаемыми образуется число, кратное $$10^6$$.

Итак, число нулей в конце десятичной записи выражения равно $$6$$.

Ответ

6