Упр.16.13 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 11 класс, Просвещение: 16.13. В выражении (5^(1/3)+2^(1/4))^800 раскрыли скобки по формуле бинома Ньютона. Какое количество полуденных слагаемых являются рациональными числами?

При раскрытии скобок по формуле бинома Ньютона общий член имеет вид

$$C_{800}^n\left(5^{1/3}\right)^n\left(2^{1/4}\right)^{800-n}.$$

Чтобы это слагаемое было рациональным числом, оба иррациональных множителя должны исчезнуть, то есть показатели степеней должны быть целыми:

$$\frac{n}{3}\in \mathbb{Z}, \qquad \frac{800-n}{4}\in \mathbb{Z}.$$

Из первого условия получаем

$$n=3k,$$

из второго —

$$800-n=4t,$$

где $k,t\in \mathbb{Z}$.

Подставим $n=3k$ во второе условие:

$$800-3k=4t.$$

Значит, $800-3k$ должно делиться на $4$. Так как $800$ делится на $4$, то $3k$ тоже должно делиться на $4$, а значит, $k$ кратно $4$:

$$k=4m.$$

Тогда

$$n=3k=12m.$$

Теперь найдём все значения $n$ от $0$ до $800$, кратные $12$:

$$n=0,12,24,\dots,792,800?$$

Но $800$ не кратно $12$, поэтому последнее подходящее значение — $792$.

Количество таких значений равно

$$\frac{792-0}{12}+1=67.$$

Ответ

67