Упр.153 Повторение ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)
1) a/(a-b)-(a+b)/a+b^2/(ab-a^2)=0;
2) (8a^2+4)/(4a^2-1)-(2a-2)/(2a+1)-(2a+1)/(2a-1)=1/(2a-1);
3) (a+5)/(a^2-5a)+(a-5)/(5a+25)+20/(25-a^2)=(a-5)/(5a);
4) (b+2)/(2a+1)-(b^2-2b)/(2ab-2+b-4a)=2/(2a+1).
$$\frac{a}{a-b}-\frac{a+b}{a}+\frac{b^2}{ab-a^2}$$
Так как $$ab-a^2=-a(a-b),$$ получаем
$$\frac{a}{a-b}-\frac{a+b}{a}-\frac{b^2}{a(a-b)}.$$
Приведём к общему знаменателю $$a(a-b)$$:
$$\frac{a^2-(a+b)(a-b)-b^2}{a(a-b)}.$$
Раскроем скобки:
$$\frac{a^2-(a^2-b^2)-b^2}{a(a-b)}=\frac{a^2-a^2+b^2-b^2}{a(a-b)}=0.$$
Тождество доказано.
$$\frac{8a^2+4}{4a^2-1}-\frac{2a-2}{2a+1}-\frac{2a+1}{2a-1}.$$
Заметим, что $$4a^2-1=(2a-1)(2a+1).$$ Тогда
$$\frac{8a^2+4}{(2a-1)(2a+1)}-\frac{2a-2}{2a+1}-\frac{2a+1}{2a-1}.$$
Приведём к общему знаменателю $$ (2a-1)(2a+1) $$:
$$\frac{8a^2+4-(2a-2)(2a-1)-(2a+1)^2}{(2a-1)(2a+1)}.$$
Раскроем скобки:
$$\frac{8a^2+4-(4a^2-6a+2)-(4a^2+4a+1)}{(2a-1)(2a+1)}$$
$$=\frac{6a+1}{(2a-1)(2a+1)}.$$
Следовательно, левая часть равна
$$\frac{1}{2a-1}.$$
Тождество доказано.
$$\frac{a+5}{a^2-5a}+\frac{a-5}{5a+25}+\frac{20}{25-a^2}.$$
Разложим знаменатели на множители:
$$a^2-5a=a(a-5), \quad 5a+25=5(a+5), \quad 25-a^2=-(a-5)(a+5).$$
Тогда
$$\frac{a+5}{a(a-5)}+\frac{a-5}{5(a+5)}-\frac{20}{(a-5)(a+5)}.$$
Приведём к общему знаменателю $$5a(a-5)(a+5)$$:
$$\frac{5(a+5)^2+a(a-5)^2-100a}{5a(a-5)(a+5)}.$$
Раскроем скобки:
$$\frac{5(a^2+10a+25)+a(a^2-10a+25)-100a}{5a(a-5)(a+5)}$$
$$=\frac{a^3-5a^2-25a+125}{5a(a-5)(a+5)}.$$
В числителе вынесем общий множитель:
$$a^3-5a^2-25a+125=(a-5)(a^2-25)=(a-5)^2(a+5).$$
Тогда
$$\frac{(a-5)^2(a+5)}{5a(a-5)(a+5)}=\frac{a-5}{5a}.$$
Тождество доказано.
$$\frac{b+2}{2a+1}-\frac{b^2-2b}{2ab-2+b-4a}.$$
Заметим, что
$$2ab-2+b-4a=(2a+1)(b-2).$$
Кроме того, $$b^2-2b=b(b-2).$$ Тогда
$$\frac{b+2}{2a+1}-\frac{b(b-2)}{(2a+1)(b-2)}=\frac{b+2}{2a+1}-\frac{b}{2a+1}.$$
Следовательно,
$$\frac{b+2-b}{2a+1}=\frac{2}{2a+1}.$$
Тождество доказано.
Ответ
1) $$0$$; 2) $$\frac{1}{2a-1}$$; 3) $$\frac{a-5}{5a}$$; 4) $$\frac{2}{2a+1}$$.
