Упр.15.5 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) C(x, 2)=153; 3) C(x, x-2)=45;
2) C(x+2, 3)=8(x+1); 4) 3C(2x, x+1)=2C(2x+1, x-1).

1. $$C_x^2=153$$
   
   $$\frac{x!}{2!(x-2)!}=153$$
   
   $$\frac{x(x-1)}{2}=153$$
   
   $$x(x-1)=306$$
   
   $$x^2-x-306=0$$
   
   $$D=1+4\cdot 306=1225$$
   
   $$x=\frac{1\pm 35}{2}$$
   
   $$x_1=-17,\quad x_2=18$$
   
   Так как $$x$$ — натуральное число, получаем $$x=18$$.
2. $$C_{x+2}^3=8(x+1)$$
   
   $$\frac{(x+2)!}{3!(x-1)!}=8(x+1)$$
   
   $$\frac{(x+2)(x+1)x}{6}=8(x+1)$$
   
   $$x(x+2)=48$$
   
   $$x^2+2x-48=0$$
   
   $$D=4+192=196$$
   
   $$x=\frac{-2\pm 14}{2}$$
   
   $$x_1=-8,\quad x_2=6$$
   
   Так как $$x$$ — натуральное число, получаем $$x=6$$.
3. $$C_x^{x-2}=45$$
   
   $$\frac{x!}{(x-2)!\,2!}=45$$
   
   $$\frac{x(x-1)}{2}=45$$
   
   $$x(x-1)=90$$
   
   $$x^2-x-90=0$$
   
   $$D=1+360=361$$
   
   $$x=\frac{1\pm 19}{2}$$
   
   $$x_1=-9,\quad x_2=10$$
   
   Так как $$x$$ — натуральное число, получаем $$x=10$$.
4. $$3C_{2x}^{x+1}=2C_{2x+1}^{x-1}$$
   
   $$3\cdot \frac{(2x)!}{(x+1)!(x-1)!}=2\cdot \frac{(2x+1)!}{(x-1)!(x+2)!}$$
   
   $$3\cdot \frac{(2x)!}{(x+1)!(x-1)!}=2\cdot \frac{(2x+1)(2x)!}{(x-1)!(x+2)(x+1)!}$$
   
   Сократим на $$\frac{(2x)!}{(x-1)!(x+1)!}$$:
   
   $$3=2\cdot \frac{2x+1}{x+2}$$
   
   $$3(x+2)=2(2x+1)$$
   
   $$3x+6=4x+2$$
   
   $$x=4$$

Ответ

1) $$18$$; 2) $$6$$; 3) $$10$$; 4) $$4$$.