Упр.137 Повторение ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 11 класс, Просвещение: 137. Докажите, что не существует таких значений x и y, при которых многочлены 5x^2-8xy-3y^2 и -4x^2+8xy+5y^2 одновременно принимали бы отрицательные значения.

Предположим, что существуют такие значения $$x$$ и $$y$$, при которых оба многочлена отрицательны:

$$5x^2-8xy-3y^2<0,$$

$$-4x^2+8xy+5y^2<0.$$

Сложим эти неравенства:

$$\left(5x^2-8xy-3y^2\right)+\left(-4x^2+8xy+5y^2\right)<0.$$

Получаем:

$$x^2+2y^2<0.$$

Но для любых действительных $$x$$ и $$y$$ выполняется

$$x^2\ge 0,\qquad 2y^2\ge 0,$$

значит,

$$x^2+2y^2\ge 0.$$

Это противоречит неравенству $$x^2+2y^2<0$$. Следовательно, таких значений $$x$$ и $$y$$ не существует.

Ответ

Не существует таких значений $$x$$ и $$y$$, при которых оба многочлена одновременно были бы отрицательными.