Упр.134 Повторение ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 11 класс, Просвещение: 134. Монету подбрасывают 5 раз. Найдите вероятность того, что при этом выпало не меньше 4 гербов, если известно, что в первых четырёх подбрасываниях выпало не меньше 3 гербов.

Обозначим:

$$A$$ — при пяти подбрасываниях выпало не меньше $$4$$ гербов;

$$B$$ — в первых четырёх подбрасываниях выпало не меньше $$3$$ гербов.

Найдём условную вероятность $$P(A \mid B)$$.

Если в первых четырёх подбрасываниях уже выпало не меньше $$3$$ гербов, то для события $$A$$ достаточно, чтобы в пятом подбрасывании выпал герб. Если в первых четырёх подбрасываниях выпало ровно $$3$$ герба, то пятый герб нужен обязательно; если уже выпало $$4$$ герба, то событие $$A$$ произошло независимо от пятого броска.

Условие $$B$$ означает, что в первых четырёх бросках не менее $$3$$ гербов, то есть возможны два случая: $$3$$ герба или $$4$$ герба. Вероятность того, что в первых четырёх бросках выпало ровно $$4$$ герба, равна

$$\left(\frac12\right)^4=\frac{1}{16}.$$

Вероятность того, что в первых четырёх бросках выпало ровно $$3$$ герба, равна

$$\binom{4}{3}\left(\frac12\right)^4=\frac{4}{16}=\frac14.$$

Тогда

$$P(B)=\frac{1}{16}+\frac14=\frac{5}{16}.$$

Событие $$A \cap B$$ означает, что в первых четырёх бросках выпало не меньше $$3$$ гербов и в пяти бросках всего не меньше $$4$$ гербов. Это возможно, если:

• в первых четырёх бросках выпало $$4$$ герба;
• в первых четырёх бросках выпало $$3$$ герба и в пятом броске выпал герб.

Тогда

$$P(A \cap B)=\frac{1}{16}+\frac14\cdot\frac12=\frac{1}{16}+\frac{2}{16}=\frac{3}{16}.$$

Следовательно,

$$P(A \mid B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{3}{16}}{\frac{5}{16}}=\frac35.$$

Ответ

$$\frac35$$