Упр.13.9 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) (3^(2n+1)+2^(n+2))?7; 2) (6^(2n)+19^n-2^(n+1))?17.

1) Докажем по индукции, что $$3^{2n+1}+2^{n+2}$$ делится на $$7$$ при любом натуральном $$n$$.

При $$n=1$$:

$$3^3+2^3=27+8=35,$$

а число $$35$$ делится на $$7$$.

Пусть для некоторого $$n=k$$ выражение $$3^{2k+1}+2^{k+2}$$ делится на $$7$$. Докажем, что тогда и $$3^{2(k+1)+1}+2^{(k+1)+2}$$ делится на $$7$$:

$$
3^{2(k+1)+1}+2^{(k+1)+2}
=3^{2k+3}+2^{k+3}
=9\cdot 3^{2k+1}+2\cdot 2^{k+2}.
$$

Представим это так:

$$
9\cdot 3^{2k+1}+2\cdot 2^{k+2}
=7\cdot 3^{2k+1}+2\bigl(3^{2k+1}+2^{k+2}\bigr).
$$

Первое слагаемое делится на $$7$$, и по предположению индукции второе тоже делится на $$7$$. Значит, всё выражение делится на $$7$$.

Следовательно, $$3^{2n+1}+2^{n+2}$$ кратно $$7$$ при любом натуральном $$n$$.

2) Докажем по индукции, что $$6^{2n}+19^n-2^{n+1}$$ делится на $$17$$ при любом натуральном $$n$$.

При $$n=1$$:

$$6^2+19-2^2=36+19-4=51,$$

а число $$51$$ делится на $$17$$.

Пусть для некоторого $$n=k$$ выражение $$6^{2k}+19^k-2^{k+1}$$ делится на $$17$$. Докажем, что тогда и $$6^{2(k+1)}+19^{k+1}-2^{(k+1)+1}$$ делится на $$17$$:

$$
6^{2(k+1)}+19^{k+1}-2^{k+2}
=36\cdot 6^{2k}+19\cdot 19^k-2\cdot 2^{k+1}.
$$

Так как $$36=34+2$$ и $$19=17+2$$, получаем:

$$
36\cdot 6^{2k}+19\cdot 19^k-2\cdot 2^{k+1}
=34\cdot 6^{2k}+17\cdot 19^k+2\bigl(6^{2k}+19^k-2^{k+1}\bigr).
$$

Каждое слагаемое справа делится на $$17$$, значит, и всё выражение делится на $$17$$.

Следовательно, $$6^{2n}+19^n-2^{n+1}$$ кратно $$17$$ при любом натуральном $$n$$.

Ответ

1) $$3^{2n+1}+2^{n+2}$$ делится на $$7$$ при любом натуральном $$n$$.

2) $$6^{2n}+19^n-2^{n+1}$$ делится на $$17$$ при любом натуральном $$n$$.